Applicazioni delle derivate
Esercizio 1
Determinare i punti di massimo o minimo relativo in $[0,1]$ per la funzione ivi definita da $f(x) = x^2 - x^4$
Potreste aiutarmi a capire come risolverla
Ve ne sarei molto grato
Determinare i punti di massimo o minimo relativo in $[0,1]$ per la funzione ivi definita da $f(x) = x^2 - x^4$
Potreste aiutarmi a capire come risolverla
Ve ne sarei molto grato
Risposte
Calcoli la derivata prima e la annulli trovando i punti a tangente orizzontale (candidati massimi/minimi) e vedi quali ricadono nel tuo intervallo.
In particolare $f'(x)=2x-4x^3$ che posta uguale a zero diventa $x(1-2x^2)=0$. Lascio a te concludere.
In particolare $f'(x)=2x-4x^3$ che posta uguale a zero diventa $x(1-2x^2)=0$. Lascio a te concludere.
"burm87":
Calcoli la derivata prima e la annulli trovando i punti a tangente orizzontale (candidati massimi/minimi) e vedi quali ricadono nel tuo intervallo.
In particolare $f'(x)=2x-4x^3$ che posta uguale a zero diventa $x(1-2x^2)=0$. Lascio a te concludere.
Vediamo se ho fatto bene......
Effettivamente il modo corretto per risolverla è quello che dici:
$f'(x)=2x-4x^3$ che posta uguale a zero diventa $x(1-2x^2)=0$
Il risultato sarà $ x= +- 1/(sqrt2)$ ma solo $x_o = 1/(sqrt2) $ è interno all'intervallo $[0,1]$, (penso proprio che si possa definire unico punto stazionario).
Adesso, "ma non sono tanto sicuro se è corretto quanto sto dicendo", passo allo studio del segno della $f'(x)$.
Se $f'(x) >= 0$ allora $x>= 1/(sqrt2)$, e questo si può confermare il massimo assoluto.
Massimo assoluto $x= 1/(sqrt2)$
Invece il minimo assoluto, si deve calcolare considerando che:
$f(1/sqrt2) = 2(1/sqrt2)-4(1/sqrt2)^3 = 0$ e questo penso si possa definire come il minimo globale.
Minimo globale $0$
Cosa ne dici
Fai un po' di confusione con le parole massimo e minimo. Non ho tempo ora di fare i calcoli, quindi non posso confermarti i risultati, ma il procedimento sembra essere corretto.
Unica cosa, quando fai $f(1/sqrt2)$ parli di minimo globale, ma non capisco cosa intendi. Quello altro non è che l'ordinata del punto di ascissa $1/sqrt2$.
Unica cosa, quando fai $f(1/sqrt2)$ parli di minimo globale, ma non capisco cosa intendi. Quello altro non è che l'ordinata del punto di ascissa $1/sqrt2$.
"burm87":
Fai un po' di confusione con le parole massimo e minimo.
Magari appena hai due minuti di tempo, mi aiuti a capire come esprimermi con la storia dei massimi, minimi ecc.
Il tuo ragionamento è giusto. Non c'è nulla da aggiungere!
"burm87":
Il tuo ragionamento è giusto. Non c'è nulla da aggiungere!
Oleeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
Esercizio 2
Dimostrare la seguente versione del teorema di Rolle:
Sia $f(x)$ continua in $[a,+oo)$ e derivabile in $(a,+oo)$; se $ lim_(x -> +oo) f(x) = f(a) $ , allora esiste $ xi in(a,+oo) $ tale che $ f'(xi ) = 0 $ .
Io riesco a dimostrarlo nel seguente modo, ma correggetemi se sbaglio.....
Per il teorema di Rolle, si può dire che:
Sia $f(x)$ una funzione continua nell'intervallo $[a,+oo)$ e derivabile nell'intervallo $(a,+oo) $, allora esisterà un punto $c in (a,+oo) $, tale che $f'(c) = (f(+oo) - f(a))/((+oo)-(a))$ dove $f'(c) = 0$
Secondo voi, ho detto tutto correttamente
Dimostrare la seguente versione del teorema di Rolle:
Sia $f(x)$ continua in $[a,+oo)$ e derivabile in $(a,+oo)$; se $ lim_(x -> +oo) f(x) = f(a) $ , allora esiste $ xi in(a,+oo) $ tale che $ f'(xi ) = 0 $ .
Io riesco a dimostrarlo nel seguente modo, ma correggetemi se sbaglio.....
Per il teorema di Rolle, si può dire che:
Sia $f(x)$ una funzione continua nell'intervallo $[a,+oo)$ e derivabile nell'intervallo $(a,+oo) $, allora esisterà un punto $c in (a,+oo) $, tale che $f'(c) = (f(+oo) - f(a))/((+oo)-(a))$ dove $f'(c) = 0$
Secondo voi, ho detto tutto correttamente
"Bad90":
....
Se $f'(x) >= 0$ allora $x>= 1/(sqrt2)$, e questo si può confermare il massimo assoluto.
Non sono d'accordo: se $f'(x)=2x-4x^3=2x(1-2x^2)$, allora, nell'intervallo $[0,1]$,
$f'(x)=0$ per $x=0$,
$f'(x)>0$ per $0
$f'(x)<0$ per $1/sqrt(2)
"Bad90":
.
$f(1/sqrt2) = 2(1/sqrt2)-4(1/sqrt2)^3 = 0$ e questo penso si possa definire come il minimo globale.
Non sono d'accordo:
$f(1/sqrt(2))=(1/sqrt(2))^2-(1/sqrt(2))^4=1/2-1/4=1/4$
è l'ordinata del massimo.
I minimi assoluti sono agli estremi dell'intervallo $[0,1]$ e precisamente in $(0,0)$ e $(1,0)$.
Esercizio 3
Sia $f(x)$ una funzione derivabile nell'intervallo di $I$ di $R$ ed esista $k>0$ tale che $|f'(x)|<= k $ per ogni $x in I$. Dimostrare che $f$ è di costante $k$ e perciò uniformemente continua in $I$.
Quello che mi sembra di aver capito dalla traccia e che vuole sapere se la derivabilità della funzione $f(x)$ ......, sia verificata al crescere di un valore costante ......
Detto questo, quello che posso dire è che se ho la funzione $f(x)$ con un intervallo $a,b in I$ dove $a
$ f'(c) = (f(b) - f(a))/(b-a)$
Possiamo dire che esista un punto $c in (a,b)$ cioè che appartiene all'intervallo, e dato che la traccia ci chiede di verificare che $|f'(x)|<= k $, posso dunque dire che $ f'(c) = f'(x)$, allora:
$ |(f(b) - f(a))/(b-a)|<=k $
Se ho centrato l'obbiettivo, mi chiedo, a che cosa serve un esercizio del genere
Mi sembra che non sia tanto utile
Sia $f(x)$ una funzione derivabile nell'intervallo di $I$ di $R$ ed esista $k>0$ tale che $|f'(x)|<= k $ per ogni $x in I$. Dimostrare che $f$ è di costante $k$ e perciò uniformemente continua in $I$.
Quello che mi sembra di aver capito dalla traccia e che vuole sapere se la derivabilità della funzione $f(x)$ ......, sia verificata al crescere di un valore costante ......
Detto questo, quello che posso dire è che se ho la funzione $f(x)$ con un intervallo $a,b in I$ dove $a
$ f'(c) = (f(b) - f(a))/(b-a)$
Possiamo dire che esista un punto $c in (a,b)$ cioè che appartiene all'intervallo, e dato che la traccia ci chiede di verificare che $|f'(x)|<= k $, posso dunque dire che $ f'(c) = f'(x)$, allora:
$ |(f(b) - f(a))/(b-a)|<=k $
Se ho centrato l'obbiettivo, mi chiedo, a che cosa serve un esercizio del genere
Mi sembra che non sia tanto utile
Esercizio 4
Sia $f(x)$ una funzione continua con la sua derivata prima nell'intervallo $[a,+oo)$. Se esiste ed è finito il limite $ lim_(x -> +oo) f'(x) = l $ , allora $f$ è uniformemente continua.
Anche in questo esercizio, penso di aver compreso ciò che in sostanza voglia sentirsi dire....
Se ciò che accade in un intervallo per un determinato punto, questo deve accadere anche per i successivi.
Questa volta, come $f(x)$ di $ in [a,+oo)$, utilizza il limite $ lim_(x -> +oo) f'(x) = l $, quindi tutto il ragionamento da fare è sul limite, giusto????
Sapendo che il metodo risolutivo di questo limite è:
$|f'(x) -l |
Risulta che sia valido anche per i successivi....
Help! Non sto riuscendo a concludere correttamente
Sia $f(x)$ una funzione continua con la sua derivata prima nell'intervallo $[a,+oo)$. Se esiste ed è finito il limite $ lim_(x -> +oo) f'(x) = l $ , allora $f$ è uniformemente continua.
Anche in questo esercizio, penso di aver compreso ciò che in sostanza voglia sentirsi dire....
Se ciò che accade in un intervallo per un determinato punto, questo deve accadere anche per i successivi.
Questa volta, come $f(x)$ di $ in [a,+oo)$, utilizza il limite $ lim_(x -> +oo) f'(x) = l $, quindi tutto il ragionamento da fare è sul limite, giusto????
Sapendo che il metodo risolutivo di questo limite è:
$|f'(x) -l |
Risulta che sia valido anche per i successivi....
Help! Non sto riuscendo a concludere correttamente
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