Applicazioni alle successioni definite ricorsivamente

[AlessiaE1]

Nel seguente esercizio ci sono diverse richieste sullo studio del carattere della successione ma quello che vi riporto qui sotto non riesco a risolverlo:

Considera la successione: $ { ( a(1) = 2 ),( a(n+1) = a(n)^2 ):} $

Dimostra che $ a(n) >= n^2 $ per ogni $ n>=1 $

[@melia]

Ciao Alessia, suppongo che il testo esatto sia
Considera la successione: $ { ( a_1 = 2 ),( a_(n+1) = a_(n)^2 ):} $

Dimostra che $ a_n >= n^2 $ per ogni $ n>=1 $

Potresti provare con il principio di induzione.

[donald_zeka]

Devi usare l'induzione.

Base di induzione:

$a_1=2>=1^2 $

Passo induttivo:

Poniamo che sia vero che $a_k>=k^2$ per $k in N$ e verifichiamo che è vero che:

$a_(k+1)>=(k+1)^2$

Per definizione della successione abbiamo $a_(k+1)=a_(k)^2$ e pertanto:

$a_(k)^2>=(k+1)^2$

$a_k>=k+1$

ma $k+1<=k^2$ per $k>=1$ e pertanto l'ultima disuguaglianza è sempre vera e l'induzione è verificata.

[AlessiaE1]

@melia Sì è che prima non avevo capito come si scrivevano i pedici...

Vulplasir Pensavo che bisognasse necessariamente partire dall'ipotesi induttiva $ a_n >= n^2 $ per poi arrivare a dimostrare che $ a_(n+1) >= (n+1)^2 $ ... ora ho capito che posso anche ricondurmi alla prima a partire dall'ultima e dimostrarne così la veridicità.

Grazie mille a entrambi

[mazzarri1]

Si Alessia il procedimento induttivo e molto utile. Riguarda la dimostrazione di vulplasir e bellissima. Devi fare cosi
1) dimostri che la tesi e vera per un $n$ a te comodo... di solito $n=0$ ma stavolta aveva senso $n=1$.
2) ora dai come vera la tesI cioe che per $n$ sia tutto vero e dimostri che e vero anche per $n+1$
Se ci riesci hai dimostrato che la tesi e verA per $n=1$ ma anche per n=2,3,4,5... quindi per quaLunque n
Ciao!!