Applicazione teorema di Lagrange

[Phaedrus1]

Oggi nel compito c'era un esercizio che mi chiedeva se fosse applicabile il teorema di Lagrange a una funzione così definita:

$y={(1-x-2x^2,text{se } x in [-1;0]),(e^(-x),text{se } x in [0;1]):}$

in caso affermativo si chiedeva di calcolare l'ascissa del punto (o dei punti) per i quali il teorema è verificato.

Io ho ragionato così: l'intervallo da considerare è [-1;1], e siccome nei due rami che la compongono la funzione è continua e derivabile, bisogna vedere se in $x=0$ c'è un punto angoloso. Siccome le derivate destra e sinistra sono entrambi uguali a -1, la funzione è continua e derivabile in tutto [-1;1] per cui si può applicare il teorema calcolando $(e^(-1)-(1+1-2))/2=1/(2e)$ che bisogna uguagliare alla derivata. Ora però quale ramo scelgo tra i due? La verifica per il ramo destro restituisce $ln(-2e)$, impossibile perché l'argomento del logaritmo è negativo; quella per il ramo sinistro invece dà $(-1-2e)/(8e)$. È corretto? Alcuni miei compagni hanno applicato il teorema ai due rami presi singolarmente, ma penso fosse questa l'interpretazione giusta dell'esercizio.

[@melia]

Il procedimento è corretto, anche se spero che le spiegazioni che hai messo nel compito siano un po' più lineari di quelle che hai scritto qui: ho dovuto risolvere a parte l'esercizio per capire quello che hai fatto. Spero anche che tu abbia verificato la continuità in 0.