Applicazione teorema di Lagrange

[michele.assirelli]

Esercizio:

Abbiamo la funzione definita a tratti:

\(\displaystyle f(x) = \begin{cases} 2x^3+4x^2 & \mbox{se } x<1 \\ ax^2+b & \mbox{se } x>=1 \end{cases} \)

Devo trovare $a$ e $b$ affinchè il teorema di Lagrange sia applicabile in $[0,2]$

Inizio studiando la continuità in $[0,2]$ ed in particolare nel punto $1$ e pongo:
$ lim_(x->1^-) f(x) = 2+4= 6$
$lim_(x->1^+) f(x) = a +b$
Da questo ottengo una prima equazione $a+b = 6$

Procendo studiando la derivabilità in $]0,2[$ ed in particolare nel punto $1$ e calcolo la derivata prima.

\(\displaystyle f'(x) = \begin{cases} 6x^2+8x & \mbox{se } x<1 \\ 2ax & \mbox{se } x>=1 \end{cases} \)

Pongo uguali i due limiti

$ lim_(x->1^-) f'(x) = 6+8 = -2$
$lim_(x->1^+) f'(x) = 2a$

Da cui ottengo $2a = 6-8$ ossia $a=7$
Sostituendo nella prima equazione trovo quindi $b=-1$

[mgrau]

Mi pare che la cosa vada intesa nel senso che:
i due pezzi della funzione devono avere lo stesso valore per x = 1
i due pezzi della funzione devono avere la stessa derivata (una destra e una sinistra) per x = 1
il che se non sbaglio conduce a $a = 7$ e $b = -1$

[michele.assirelli]

Sì anche io l'ho intesa allo stesso modo.
Tuttavia non mi tornano i risultati mentre i tuoi sono giusti

Cosa hai fatto di diverso?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Ciao, a me sembra che tu abbia scritto $f(1^-)$ e l'abbia interpretato come $f(-1)$. Questo è l'errore.

[mgrau]

Le funzioni devono avere il valore 6 per x=1, da cui a+b = 6
La derivata sx in x=1 è 14, la dx è 2a, da cui a=7

[michele.assirelli]

"Martino":Ciao, a me sembra che tu abbia scritto $f(1^-)$ e l'abbia interpretato come $f(-1)$. Questo è l'errore.

Giusto hai ragione era quello l'errore.
Grazie