Applicazione studio funzioni

[Nausicaa912]

è data l'equazione $x^2-(m-1)x+m+2=0$


1. Studiare l'esistenza e il segno delle radici.
2. Si segnino sull'asse delle ascisse i punti C' e C'' aventi per ascissa rispetticamente le radici x' e x'' di questa equazione e si considerino le circonferenze $delta'$ e $delta''$ aventi per centri rispettivamente C' e C'' e passanti per un punto O. Studiare al variare dei valori di m, l'esistenza delle ciroconferenze e le loro mutue posizioni.


ho calcolato il delta e trovato i valori di m.
le radici sono $x=-2$ e x=-4$
adesso però non so come procedere... che devo fare?
come studio le posizioni delle circonferenze al variare di m?

[@melia]

Non capisco che cosa intendi dicendo che $x_1=-2 $ e $x_2=-4$

[Nausicaa912]

le radici dell'equazione...
prima ho fatto il delta.
mi viene
$m^2+1-2m-4m-8=0$
$m^2-6m-7=0$
soluzioni $m=7$ e $m=-1$
quindi, sostituendo $x=-1$ho
$x^2 +2x+4=0$
soluzioni $x=-2$
sostituendo $x=7$
invece ho
$x^2 +6x +8=$
soluzioni $x=-2$ e $x=-4$

[giammaria2]

Ragioniamo: si ha $Delta=m^2-6m-7$ ma perchè dovrebbe essere uguale a zero? Anche ammettendo che fare questa eguaglianza fosse giusto, otterresti $m=7$ e $m=-1$, ma non c'è nessun motivo perchè x, che è un'altra lettera, assuma questi valori. Forse volevi dire "sostituendo m=-1" che può essere un ragionamento sensato, ma allore hai sbagliato i calcoli; lo stesso per m=7.
Il ragionamento da fare è: le radici di un'equazione esistono quando ... e se esistono i loro segni sono date dalla regola di Cartesio, cioè ...

[Quark73]

Il problema ti da una equazione che ti permette di trovarti le coordinate dei centri delle circonferenze in funzione di m...
$ x_1=-(sqrt(m^2-6*m-7)-m+1)/2; x_2=(sqrt(m^2-6*m-7)+m-1)/2 $
è importante il delta perchè il suo studio ci permette di rispondere alla domanda relativa all'esistenza delle radici:
le radici esisteranno se $ Delta geq 0 $ quindi se $ m leq -1 vv m geq 7 $
per il segno ricordiamo la regola di Cartesio che ci permette di analizzare il segno di a, b e c e dedurre il segno delle soluzioni.
dato che a=1>0 sempre resta da analizzare il segno di b=-(m-1) e di c=m+2 studiando le 2 disequazioni otteniamo
a>0 sempre
b>0 se m<1
c>0 se m>-2
questo vuol dire che:
se m<-2 a>0, b>0, c<0 quindi 1 permanenza ed 1 variazione => 1 sol. + e 1 sol. -
se m=-2 1 sol=0 e l'altra è +
se -20, b>0, c>0 quindi 2 permanenze 2 sol. -
se m=-1 2 sol. - coincidenti poichè delta=0 poichè a>0, b>0, c>0 quindi 2 permanenze 2 sol. - coincidenti
se -1 se m=7 2 sol. coincidenti poichè delta=0 poichè a>0,b<0,c>0 quindi 2 variazioni 2 sol. + coincidenti
se m>7 a>0,b<0,c>0 quindi 2 variazioni 2 sol. +
questo è il punto 1

il punto 2 lo svolgi tenendo presente quanto già detto prima per l'esistenza cioè $ m leq -1 vv m geq 7 $
per quanto riguarda le posizioni relative dato che passano sempre per O possono verificarsi le seguenti condizioni

1) tangenti internamente (succede quando le soluzioni hanno segno concorde)
2) tangenti esternamente (quando hanno segno discorde)
3) coincidenti (questo succede quando m=-1 o m=7)
4) una delle 2 degenera in un punto (m=-2)

[Nausicaa912]

ok grazie
ma per studiare il segno della funzione, posso anche farlo con il metodo grafico?
cioè con questo sistema
$\{(y=m),(y= (x^2+x+2)/(1-x)),(x<=-(sqrt(m^2-6*m-7)-m+1)/2 e x>=(sqrt(m^2-6*m-7)+m-1)/2):}$

oppure per forza la regola di cartesio?

[walter891]

secondo me va bene anche il metodo grafico

[Nausicaa912]

ok
perchè il metodo di cartesio l'ho studiato l'anno scorso, e dovrei rivedermelo...
inoltre il titolo dell'esercizio è "appricazione studio delle funzioni"... quindi penso sia opportuno che io preferisca queszto metodo qui...

[Nausicaa912]

"giammaria":Ragioniamo: si ha $Delta=m^2-6m-7$ ma perchè dovrebbe essere uguale a zero? Anche ammettendo che fare questa eguaglianza fosse giusto, otterresti $m=7$ e $m=-1$, ma non c'è nessun motivo perchè x, che è un'altra lettera, assuma questi valori. Forse volevi dire "sostituendo m=-1" che può essere un ragionamento sensato, ma allore hai sbagliato i calcoli; lo stesso per m=7.
Il ragionamento da fare è: le radici di un'equazione esistono quando ... e se esistono i loro segni sono date dalla regola di Cartesio, cioè ...

si volevo scrivere quello che hai detto tu.

[Nausicaa912]

ho fatto il grafico... ma ome faccio con le limitazioni?
Sono in m... qualcuno può darmi qualche suggermento?:(

[giammaria2]

Con le limitazioni fai, ma evitando gli errori, quello che avevi già fatto. Se m=-1, sostituendolo nell'equazione ottieni $x^2+2x+1=0$ che che le due suluzioni coincidenti x=-1 (dovevano essere coincidenti, poichè il discriminante si annulla): le due circonferenze coincidono ed hanno centro in (-1,0). Invece per m=7 l'equazione diventa $x^2-6x+9=0$ con le soluzioni coincidenti x=3.

[Nausicaa912]

"Quark73":Il problema ti da una equazione che ti permette di trovarti le coordinate dei centri delle circonferenze in funzione di m...
$ x_1=-(sqrt(m^2-6*m-7)-m+1)/2; x_2=(sqrt(m^2-6*m-7)+m-1)/2 $
è importante il delta perchè il suo studio ci permette di rispondere alla domanda relativa all'esistenza delle radici:
le radici esisteranno se $ Delta geq 0 $ quindi se $ m leq -1 vv m geq 7 $
per il segno ricordiamo la regola di Cartesio che ci permette di analizzare il segno di a, b e c e dedurre il segno delle soluzioni.
dato che a=1>0 sempre resta da analizzare il segno di b=-(m-1) e di c=m+2 studiando le 2 disequazioni otteniamo
a>0 sempre
b>0 se m<1
c>0 se m>-2
questo vuol dire che:
se m<-2 a>0, b>0, c<0 quindi 1 permanenza ed 1 variazione => 1 sol. + e 1 sol. -
se m=-2 1 sol=0 e l'altra è +
se -20, b>0, c>0 quindi 2 permanenze 2 sol. -
se m=-1 2 sol. - coincidenti poichè delta=0 poichè a>0, b>0, c>0 quindi 2 permanenze 2 sol. - coincidenti
se -1 se m=7 2 sol. coincidenti poichè delta=0 poichè a>0,b<0,c>0 quindi 2 variazioni 2 sol. + coincidenti
se m>7 a>0,b<0,c>0 quindi 2 variazioni 2 sol. +
questo è il punto 1

il punto 2 lo svolgi tenendo presente quanto già detto prima per l'esistenza cioè $ m leq -1 vv m geq 7 $
per quanto riguarda le posizioni relative dato che passano sempre per O possono verificarsi le seguenti condizioni

1) tangenti internamente (succede quando le soluzioni hanno segno concorde)
2) tangenti esternamente (quando hanno segno discorde)
3) coincidenti (questo succede quando m=-1 o m=7)
4) una delle 2 degenera in un punto (m=-2)

grazie mille a tutti, l'ho fatto e mi trovo con quello che avete scritto.
Però non mi è chiarò perchè quando due circonferenze sono tang. internamente le soluzioni hanno segno concorde, esternamente discorde... Per quale motivo? Non ho ben capito.

[giammaria2]

Se le circonferenze sono tangenti internamente, i loro centri stanno dalla stessa parte rispetto ad O e quindi le loro ascisse hanno lo stesso segno; esternamente sono invece da parti opposte e quindi con segno diverso. Prova a disegnarle e lo vedi subito.

[Nausicaa912]

oh giusto, disegnandole ho compreso.
Grazie davvero