Applicazione lineare

[Starvation]

Ciao a tutti, sono capitato su questo forum dopo una breve "googlata" in seguito ad un problema che ho trovato cercando di risolvere un esercizio riguardante le applicazioni lineari...ho provato ad aiutarmi con qualche testo trovato nella biblioteca dell'uni ma non c'è stato praticamente verso, così mi rivolgo a voi :P

Il testo dice:

Sia k un parametro per l'applicazione lineare

[math]F: R^2 -> R^3[/math]

definita da

[math]F(x,y)= (kx + y, x + ky, (k + 1)x + (k + 1)y)[/math]

A) Discutere al variare del parametro k il sistema lineare

[math]F(x,y) = (2,0,k)[/math]

B) Discutere al variare di k iniettività e suriettività di F


Premesso che il mio corso NON è di matematica (e quindi mi trovo con qualche difficoltà in più rispetto ad un matematico in queste cose), c'è qualcuno in grado di aiutarmi a risolvere l'esercizio?

Vi ringrazio già da adesso per aver almeno letto il testo :kiss , vi chiedo almeno di non saltare troppi passaggi se sapete risolverlo...ciao!

[xico87]

il punto A è semplice, si tratta di risolvere un sistema nel parametro k, con la riduzione gaussiana.
il sistema è il seguente:

kx+y = 2
x+ky = 0
(k+1)y = k

per il secondo punto aspetta ciampax

[ciampax]

Allora, come diceva Xico, per il punto 1 i problemi sono pochi: basta discutere il sistema di equazioni

[math]\left\{\begin{array}{l}
kx + y=2\\ x + ky=0\\ (k + 1)x + (k + 1)y=k
\end{array}\right.[/math]

Il metodo più veloce è scriversi la matrice "completa" (cioè formata anche dai termini noti) del sistema: essa è

[math]A=\left(\begin{array}{cc|c}
k & 1 & 2\\ 1 & k & 0 \\ k+1 & k+1 & k
\end{array}\right)[/math]

la quale si può ridurre con il metodo di triangolazione di Gauss-Jordan nel modo seguente

[math]A\rightarrow\left(\begin{array}{cc|c}
1 & k & 0 \\ 0 & 1-k^2 & 2 \\ 0 & 1-k^2 & k
\end{array}\right)[/math]

A questo punto ti si presentano i seguenti due casi:
1) se

[math]k=2[/math]

allora le ultime due righe sono uguali e quindi hai ridotto il sistema di tre equazioni al sistema delle due equazioni

[math]x+2y=0\qquad -3y=2[/math]

la cui soluzione unica è

[math](4/3,-2/3)[/math]

2) se

[math]k\neq 2[/math]

hai che le ultime due equazioni sono incompatibili, in quanto mentre il membro sinistro è uguale, quello destro non coincide (per intenderci è come dire che la prima ti dice

[math]a=1[/math]

la seconda

[math]a=2[/math]

e ovviamente, non puoi avere due valori diversi!)



Per il secondo punto, devi innanzitutto determinare come è fatto il nucleo, che, ti ricordo, è l'insieme di tutti i vettori

[math](x,y)[/math]

tali che

[math]F(x,y)=0[/math]

. Questo ti porta a risolvere il seguente sistema

[math]\left\{\begin{array}{l}
kx + y=0\\ x + ky=0\\ (k + 1)x + (k + 1)y=0
\end{array}\right.[/math]

la cui matrice dei coefficienti è

[math]A=\left(\begin{array}{cc|c}
k & 1 & 0\\ 1 & k & 0 \\ k+1 & k+1 & 0
\end{array}\right)\rightarrow
\left(\begin{array}{cc|c}
1 & k & 0 \\ 0 & 1-k^2 & 0 \\ 0 & 1-k^2 & 0
\end{array}\right)[/math]

e quindi ti riduci al sistema di equazioni

[math]x+ky=0\qquad (1-k^2)y=0[/math]

Ora se

[math]1-k^2\neq 0[/math]

allora deve essere necessariamente

[math]y=0[/math]

e quindi anche

[math]x=0[/math]

. Per cui

[math]1-k^2\neq 0\Longrightarrow \ker(F)=\{(0,0)\},\qquad \dim\ \ker(F)=0.[/math]

Se invece

[math]1-k^2=0[/math]

e quindi se

[math]k=\pm 1[/math]

ottieni che il sistema si riduce alla sola equazione

[math]x\pm y=0[/math]

e quindi hai

[math]k=1\Longrightarrow \ker(F)=\{(x,-x)\}\qquad \dim\ \ker(F)=1[/math]

[math]k=-1\Longrightarrow \ker(F)=\{(x,x)\}\qquad \dim\ \ker(F)=1[/math]

Per l'iniettività, puoi allora concludere che F è sempre iniettiva se

[math]1-k^2\neq 0[/math]

poiché il nucleo è banale. Nel caso in cui invece

[math]k=\pm 1[/math]

ovviamente F non è iniettiva.

Per determinare la suriettività, puoi usare il seguente risultato che ti scrivo in forma generale: se

[math]G:V\rightarrow W[/math]

è una applicazione lineare tra due spazi vettoriali allora

[math]\dim\ V=\dim\ \ker(G)+\dim\ Im(G)[/math]

dove

[math]Im(G)[/math]

è l'immagine di G.

Allora hai che

[math]1-k^2\neq 0\Longrightarrow \dim\ Im(F)=2-0=2[/math]

[math]k=\pm 1\Longrightarrow \dim\ Im(F)=2-1=1[/math]

In entrambi i casi la dimensione dell'immagine non è 3 (che è la dimensione dello spazio di arrivo) e quindi la F non è mai suriettiva.

[sqklaus]

grazie ciampax
mi hai rimesso in mente questo tipo dio esercizi , io avevo evitato di parlare perchè nn mi ricordavo più come risolverlo
puoi dare un'occhiata a quello della cinematica che sul forum sta subito sotto qst ??
K