Angolo di 45 gradi
Nel triangolo ABC rettangolo in A, la bisettrice dell'angolo in B interseca AC nel punto P. Preso su BC il segmento BD uguale ad AP, determinare il rapporto AB:BC sapendo che l'angolo CDP è ampio 45°.[code][/code]
Risposte
io ho ottenuto 3/5, però ho dovuto far uso di diverse formule goniometriche.
non è agevole postare tutto il procedimento. se non è un problema di trigonometria, è inutile.
fammi sapere. intanto prepara il disegno. ciao.
non è agevole postare tutto il procedimento. se non è un problema di trigonometria, è inutile.
fammi sapere. intanto prepara il disegno. ciao.
Si può fare senza la goniometria:
Si tracci $PH$, perpendicolare a $BC$: i due triangoli $ABP$ e $PBH$ sono dunque congruenti. Ne risulta che $AP=BD=DH=PH=l$. Con pitagora si ricava $PB= \sqrt{5}l$ e ancora con pitagora, $AB=2l$. Ora si considerino il triangolo $ABC$ e $PHC$ essi sono simili (entrambi sono simili a $ADC$) e si noti che i lati sono in rapporto $1:2$. Si può quindi scrivere che $BD+BH+ \frac{1}{2}(AP+PC)=2PC$. Risolvendo si ottiene $PC= \frac{5}{3}l$, quindi $HC= \frac{\frac{5}{3}l+l}{2}=\frac{4}{3}l$.$BC$ è dunque uguale a $\frac{10}{3}l$.
$\frac{AB}{BC}=\frac{2l}{\frac{10}{3}l}=\frac{3}{5}
A presto!
Si tracci $PH$, perpendicolare a $BC$: i due triangoli $ABP$ e $PBH$ sono dunque congruenti. Ne risulta che $AP=BD=DH=PH=l$. Con pitagora si ricava $PB= \sqrt{5}l$ e ancora con pitagora, $AB=2l$. Ora si considerino il triangolo $ABC$ e $PHC$ essi sono simili (entrambi sono simili a $ADC$) e si noti che i lati sono in rapporto $1:2$. Si può quindi scrivere che $BD+BH+ \frac{1}{2}(AP+PC)=2PC$. Risolvendo si ottiene $PC= \frac{5}{3}l$, quindi $HC= \frac{\frac{5}{3}l+l}{2}=\frac{4}{3}l$.$BC$ è dunque uguale a $\frac{10}{3}l$.
$\frac{AB}{BC}=\frac{2l}{\frac{10}{3}l}=\frac{3}{5}
A presto!
complimenti per l'impostazione! avrei dovuto pensarci anch'io, ma il disegno non mi ha aiutato.
qualche osservazione:
avevi già dimostrato la congruenza dei triangoli ABP e PBH, quindi non era necessario ri-applicare Pitagora per trovare $AB=2l$.
sono d'accordo sulla similitudine dei triangoli ABC e PHC, ma non per il motivo che dici: ADC mica è rettangolo? mi sono persa qualche pezzo della dimostrazione?
poi mi è sfuggito il motivo di quella somma che hai uguagliato a $2PC$, ma forse ero condizionata dall'affermazione precedente che non mi ha convinta...
intanto io provo a ripartire con la dimostrazione geometrica utilizzando la prima parte della tua e cercando di seguire una strada che mi è oiù consona, e poi ci risentiamo. ciao!
qualche osservazione:
avevi già dimostrato la congruenza dei triangoli ABP e PBH, quindi non era necessario ri-applicare Pitagora per trovare $AB=2l$.
sono d'accordo sulla similitudine dei triangoli ABC e PHC, ma non per il motivo che dici: ADC mica è rettangolo? mi sono persa qualche pezzo della dimostrazione?
poi mi è sfuggito il motivo di quella somma che hai uguagliato a $2PC$, ma forse ero condizionata dall'affermazione precedente che non mi ha convinta...
intanto io provo a ripartire con la dimostrazione geometrica utilizzando la prima parte della tua e cercando di seguire una strada che mi è oiù consona, e poi ci risentiamo. ciao!
1)Hai ragione: questa è quella che definisco la mia "pirlaggine matemetica":fare tanti passaggi lunghi e inutili solo per distrazione!
2)Hai ri-ragione:intendevo simili al triangolo $AKC$ con $AK$ perpendicolare a $BC$...mi sono fatto ingannare dal disegno!!
3)Qua invece ho fatto giusto! Ho semplicemente eguagliato $BC$ (ossia tutto il primo membro) a $2PC$!
4)ooooooooooooook! cmq con queste correzioni ora è tutto giusto!
2)Hai ri-ragione:intendevo simili al triangolo $AKC$ con $AK$ perpendicolare a $BC$...mi sono fatto ingannare dal disegno!!
3)Qua invece ho fatto giusto! Ho semplicemente eguagliato $BC$ (ossia tutto il primo membro) a $2PC$!
4)ooooooooooooook! cmq con queste correzioni ora è tutto giusto!
3) sono d'accordo che BC=2PC (teorema della bisettrice). credo che al posto di BH ci andasse DH.
io ho diviso PC in due parti, PR=PH e RC=1/2 HC. dalla proporzione AB : AC = PH : HC segue $RC=2/3l$ e quindi $BC=10/3 l$;
essendo $AB=2l$, il rapporto richiesto è $2*3/10=3/5$
ciao.
io ho diviso PC in due parti, PR=PH e RC=1/2 HC. dalla proporzione AB : AC = PH : HC segue $RC=2/3l$ e quindi $BC=10/3 l$;
essendo $AB=2l$, il rapporto richiesto è $2*3/10=3/5$
ciao.
Si è tutto chiaro, sono arrivata allo stesso risultato applicando Pitagora, ma il tuo procedimento è più semplice, grazie,ciao.
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