Angolo di 30 gradi con la retta
Salve a tutti volevo sapere riguardo questo esercizio, la mia relativa impostazione, in quanto ho l'impressione di fare il raggionamento giusto ma non mi risulta:
l'esercizio è il seguente
Dato il punto P=(1,-2) e la retta r : x+3y+1=0
determinare le rette uscenti per P che formano un angolo di con la retta r
il mio ragionamento è stato il seguente in primis ho sfuttato il fatto che m= tanα
conseguentemente ho pensato nell'equazione del fascio di rette $ y-y_{o}=m(x-x_{0}) $ di sostituire la m con il valore che essa assume in tan $ (Pi )/(6) $ $ ossia sqrt(3) /3 $ e svogendo le opportune sostituzione con i punti di P ottengo:
$ y+2=sqrt(3) /3(x-1) $
che diventa $ y = sqrt(3) /3 (-sqrt(3)-6)/(3) $
successivamente l'ho messa a sistema con la retta r per trova il punto in cui si incontrano:
$ { ( y = sqrt(3) /3 (-sqrt(3)-6)/(3)
),( x+3y+1=0 ):} $
e dopo opportuni calcoli i punti che escono fuori per questa retta uscente da P che chiamerò A sono:
A=( $ -3 sqrt(3)+2 $ , $ (3+sqrt(3))/(3) $ )
il problema è che quanto metto tutti i punti sul piano (utilizzo geogebra) non mi si viene a formare un angolo di 30 gradi, sapresti dirmi dove ho sbagliato
l'esercizio è il seguente
Dato il punto P=(1,-2) e la retta r : x+3y+1=0
determinare le rette uscenti per P che formano un angolo di con la retta r
il mio ragionamento è stato il seguente in primis ho sfuttato il fatto che m= tanα
conseguentemente ho pensato nell'equazione del fascio di rette $ y-y_{o}=m(x-x_{0}) $ di sostituire la m con il valore che essa assume in tan $ (Pi )/(6) $ $ ossia sqrt(3) /3 $ e svogendo le opportune sostituzione con i punti di P ottengo:
$ y+2=sqrt(3) /3(x-1) $
che diventa $ y = sqrt(3) /3 (-sqrt(3)-6)/(3) $
successivamente l'ho messa a sistema con la retta r per trova il punto in cui si incontrano:
$ { ( y = sqrt(3) /3 (-sqrt(3)-6)/(3)
),( x+3y+1=0 ):} $
e dopo opportuni calcoli i punti che escono fuori per questa retta uscente da P che chiamerò A sono:
A=( $ -3 sqrt(3)+2 $ , $ (3+sqrt(3))/(3) $ )
il problema è che quanto metto tutti i punti sul piano (utilizzo geogebra) non mi si viene a formare un angolo di 30 gradi, sapresti dirmi dove ho sbagliato
Risposte
L'esercizio ti sta dicendo che le rette formano un angolo di $30°$.
Tu hai determinato l'equazione di una retta passante per $P$ e che forma un angolo di $30°$ con l'asse $x$...
Tu hai determinato l'equazione di una retta passante per $P$ e che forma un angolo di $30°$ con l'asse $x$...
perché scusa? nel sistema non ho messo l'equazione dell'asse x non capisco.. ho messo appunto la retta r in modo da trovarne un intersezione con r.. poi magari passa per x ma a noi non importa questo giusto?
Premetto di non essere proprio un fenomeno, quindi ben vengano altri commenti oltre il mio 
Il sistema che hai impostato ti permette di trovare il punto di intersezione fra una retta passante per $P$ e di coefficiente angolare $sqrt(3)/3$ e la retta $y=-x/3 -1/3$.
Il problema cosa ti sta chiedendo? Determinare le rette passanti per $P$ che formano un angolo di $30°$ con la retta $y=-x/3 -1/3$. Quindi devi trovare l'equazione di una retta. Sai che passa per $P$, quindi, come giustamente hai scritto, avrà equazione $y+2=m(x-1)$.
Sai come determinare $m$?
Il sistema che hai impostato ti permette di trovare il punto di intersezione fra una retta passante per $P$ e di coefficiente angolare $sqrt(3)/3$ e la retta $y=-x/3 -1/3$.
Il problema cosa ti sta chiedendo? Determinare le rette passanti per $P$ che formano un angolo di $30°$ con la retta $y=-x/3 -1/3$. Quindi devi trovare l'equazione di una retta. Sai che passa per $P$, quindi, come giustamente hai scritto, avrà equazione $y+2=m(x-1)$.
Sai come determinare $m$?
@Kafka99
Devi usare la formula di addizione della tangente per trovare m. Non puoi fare così.
Devi usare la formula di addizione della tangente per trovare m. Non puoi fare così.
ora è tutto più chiaro, giunti a questo punto non saprei come calcolare m pensavo banalmente di sostiruirlo con il corrispondente numero che la tangente ossume ossia radice di 3 fratto 3
eh no: quel $30°$ è l'angolo che formano le due rette, che ovviamente è diverso da quello che forma la retta che devi determinare con l'asse $x$.
Comunque l'angolo fra due rette è dato da $tan (gamma) = (m-m')/(1+mm')$, dove $gamma$ è il valore di due dei quattro angoli che descrivono le rette (perché due rette che si intersecano descrivono quattro angoli a due a due congruenti), $m$ è il coefficiente angolare della retta che ti è nota (in questo caso $m=-1/3$) e $m'$ è il coefficiente angolare della retta che devi trovare.
Comunque l'angolo fra due rette è dato da $tan (gamma) = (m-m')/(1+mm')$, dove $gamma$ è il valore di due dei quattro angoli che descrivono le rette (perché due rette che si intersecano descrivono quattro angoli a due a due congruenti), $m$ è il coefficiente angolare della retta che ti è nota (in questo caso $m=-1/3$) e $m'$ è il coefficiente angolare della retta che devi trovare.
"HowardRoark":
eh no: quel $30°$ è l'angolo che formano le due rette, che ovviamente è diverso da quello che forma la retta che devi determinare con l'asse $x$.
Comunque l'angolo fra due rette è dato da $tan (gamma) = (m-m')/(1+mm')$, dove $gamma$ è il valore di due dei quattro angoli che descrivono le rette (perché due rette che si intersecano descrivono quattro angoli a due a due congruenti), $m$ è il coefficiente angolare della retta che ti è nota (in questo caso $m=-1/3$) e $m'$ è il coefficiente angolare della retta che devi trovare.
ti rigrazio ma prorpio non riesco a capire, dopo aver calcolato questo: $tan (gamma) = (m-m')/(1+mm')$ cosa devo farci ? sostituisco tutto opportunamente e mi risulta $tan (gamma) = (1-3m')/(3+m')$ e dopo di che? non risco porprio a capire scusami devo sostituirlo a m? nell'equazione
Abbiamo detto che $gamma$ è il valore di due dei quattro angoli che formano le rette.
Poniamo allora $gamma = 30°$.
Sostituisci nella formula: $sqrt(3)/3= (-1/3-m')/(1-(1/3)*m')$
Così trovi $m'$, che è il coefficiente angolare della retta che stai cercando.
Ci sarebbe una seconda retta che passa per $P$ e che forma un angolo di $30°$ con la retta $r$: trovi il suo coefficiente angolare con la stessa formula che ti ho indicato sopra, considerando però $gamma'=150°$, $tan(150°)= -sqrt(3)/3$.
Quindi: $-sqrt(3)/3= (-1/3-m')/(1-(1/3)*m')$
Poniamo allora $gamma = 30°$.
Sostituisci nella formula: $sqrt(3)/3= (-1/3-m')/(1-(1/3)*m')$
Così trovi $m'$, che è il coefficiente angolare della retta che stai cercando.
Ci sarebbe una seconda retta che passa per $P$ e che forma un angolo di $30°$ con la retta $r$: trovi il suo coefficiente angolare con la stessa formula che ti ho indicato sopra, considerando però $gamma'=150°$, $tan(150°)= -sqrt(3)/3$.
Quindi: $-sqrt(3)/3= (-1/3-m')/(1-(1/3)*m')$
Ti ringrazio ancora @HowardRoark ma ho svolto i calcoli e mi è risultato l'angolo di 30 gradi ma la cosa strana è che mi è risultato solo per il coifficente angolare che ottengo da tan (150), per tan (30) non mi risulta un angolo di 30 gradi, è giusto oppure ho capito male il ragionamento?
La soluzione di $sqrt(3)/3 = (-1/3 -x)/(1-1/3*x)$ è $x = - (6 + 5sqrt(3))/13$. Ti è venuto questo risultato?
si mentre per quanto riguarda l'altro il risultato è : 5•radice3 -6 fratto 3
Eh ma le due rette del tuo grafico hanno entrambe coefficiente angolare positivo, ma $-(6+5sqrt(3))/13$ è negativo...
E poi dovrebbero passare entrambe per $P(1;-2)$ quando a me sembra che solo una delle rette che hai rappresentato passi per quel punto.
E poi dovrebbero passare entrambe per $P(1;-2)$ quando a me sembra che solo una delle rette che hai rappresentato passi per quel punto.
"HowardRoark":
Eh ma le due rette del tuo grafico hanno entrambe coefficiente angolare positivo, ma $(-6+5sqrt(3))/13$ è negativo...
E poi dovrebbero passare entrambe per $P(1;-2)$ quando a me sembra che solo una delle rette che hai rappresentato passi per quel punto.
se io posto $(-6+5sqrt(3))/13$ postivo trovo il punto passante per P ma siamo sempre lì non forma un angolo di 30 gradi mentre l'altro si, non capisco prorpio.
Scusa, il risultato corretto è $x= -(6+5sqrt(3))/13$.
Graficamente dovrebbe venirti questo: https://www.desmos.com/calculator/yabzzolhrz
Graficamente dovrebbe venirti questo: https://www.desmos.com/calculator/yabzzolhrz
ok ora risulta haha avevo semplicemente sbagliato a scrvere l'equazione su geogebra grazie mille Howard!un grade
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