Angoli "interni" tetraedro
Ciao, amici!
Nei libri di chimica trovo che gli angoli di legame degli atomi di una molecola tetraedrica, come per esempio quella del metano, sono di circa 109,5°. Si tratta degli angoli sottesi alle linee che uniscono i vertici al centro del tetraedro. Qualcuno saprebbe illustrare come si dimostra?
Grazie di cuore a tutti!
Davide
Nei libri di chimica trovo che gli angoli di legame degli atomi di una molecola tetraedrica, come per esempio quella del metano, sono di circa 109,5°. Si tratta degli angoli sottesi alle linee che uniscono i vertici al centro del tetraedro. Qualcuno saprebbe illustrare come si dimostra?
Grazie di cuore a tutti!
Davide
Risposte
"DavideGenova":
Ciao, amici!
Nei libri di chimica trovo che gli angoli di legame degli atomi di una molecola tetraedrica, come per esempio quella del metano, sono di circa 109,5°. Si tratta degli angoli sottesi alle linee che uniscono i vertici al centro del tetraedro. Qualcuno saprebbe illustrare come si dimostra?
Grazie di cuore a tutti!
Davide
fino a pochi secondi fa credevo che il tetraedro avesse la somma degli angoli al vertice = 180°
quindi mi hai scombussolato la mia concezzione della geometria...
No, tranquillo 
: mi riferisco agli angoli sottesi alle linee che dal centro del tetraedro vanno ai vertici, come gli angoli tra le linee che uniscono immaginariamente l'atomo di carbonio con quelli di idrogeno nella molecola del metano: [url]en.wikipedia.org/wiki/File:Ch4-structure.png[/url]
Ciao!
: mi riferisco agli angoli sottesi alle linee che dal centro del tetraedro vanno ai vertici, come gli angoli tra le linee che uniscono immaginariamente l'atomo di carbonio con quelli di idrogeno nella molecola del metano: [url]en.wikipedia.org/wiki/File:Ch4-structure.png[/url]Ciao!
Il problema si traduce nella ricerca di un punto interno al tetraedro equidistante dai quattro vertici, cioè il centro della sfera circoscritta allo stesso. Indicando con $l$ il lato del tetraedro e con $h$ la sua altezza, con $R$ il raggio della sfera, con $a$ l'apotema del triangolo di base e con $R$ il suo raggio si avrà:
$(h-R)^(2)+a^(2)+(l/2)^(2)=r^(2)$
Sapendo che:
R= $ l * 2 / 3 $ * $ sqrt(3) /2 $
h= $ sqrt((l)^(2)-(R)^(2) ) $ = $ l * sqrt(6) / 3 $
a=$ l * 1 / 3 $ * $ sqrt(3) /2 $
Sostituendo nell'equazione si avrà:
$ l^(2) * 2 / 3 + R^(2) - R * l * 2 * sqrt(6) / 3 + l^(2) / 12 + l^(2) / 4 = R^(2) $
Di qui R in funzione di l:
$R=l*sqrt(6)/4$
Applicando il teorema di Carnot:
$2*(l*sqrt(6)/4)^(2)-2*(l*sqrt(6)/4)^(2)*cosx=l^(2)$
$cosx=-1 / 3 $
$x=arccos(-1 / 3 ) =109,5$
$(h-R)^(2)+a^(2)+(l/2)^(2)=r^(2)$
Sapendo che:
R= $ l * 2 / 3 $ * $ sqrt(3) /2 $
h= $ sqrt((l)^(2)-(R)^(2) ) $ = $ l * sqrt(6) / 3 $
a=$ l * 1 / 3 $ * $ sqrt(3) /2 $
Sostituendo nell'equazione si avrà:
$ l^(2) * 2 / 3 + R^(2) - R * l * 2 * sqrt(6) / 3 + l^(2) / 12 + l^(2) / 4 = R^(2) $
Di qui R in funzione di l:
$R=l*sqrt(6)/4$
Applicando il teorema di Carnot:
$2*(l*sqrt(6)/4)^(2)-2*(l*sqrt(6)/4)^(2)*cosx=l^(2)$
$cosx=-1 / 3 $
$x=arccos(-1 / 3 ) =109,5$
"DavideGenova":
No, tranquillo
Ciao!
ok, thx
$+oo$ Grazie, Sally!!!
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