Ancora un problemino sulla parabola.....

[Mobility]

La parabola di equazione $y=-x^2+4x$ incontra il semiasse positivo della x nel punto A ed O è l'origine del sistema di riferimento; condotte la tangente t e la normale n alla parabola nel punto A, determinare sull'arco OA di parabola un punto P tale che la somma delle sue distanze da t e da n sia $27/sqrt17$.

Io pensavo di risolverlo così:
Lungo il semiasse positivo delle x la retta ha equazione $y=0$
segue che l'intersezione della parabola con il semiasse positivo delle x sarà nei punti di ascissa definita dall'equazione $x^2-4x=0$ ovvero $x(x-4)=0$

cioè nei punti (0;0) e (4;0)

Trovo ora tangente t e normale n nel punto A

mettendo a sistema

$y=-x^2+4x$ e $y=m(x-4)$, facendo gli opportuni calcoli ed imponendo che $Delta=0$ ottengo che m=-4 da cui l'equazione di t è $y=-4x+16$

poichè $m'=-1/m$ ottengo che l'equazione di n in A è la seguente : $y=1/4(x-4)$

Purtroppo da qui non so come continuare .......

Ogni aiuto è gradito

[codino75]

non ho fatto i conti, ma quello che hai fatto mi sembra tutto corretto.
per proseguire devi scrivere la somma delle 2 distanze e porre tale somma pari a ciò che é scrittoo nel testo del problema.
tali distanze vanno scritte tenendo in conto che il punto si trova sulla parabola.
questa cosa può essere fatta immediatamente considerando la seguente espressione per il punto:
P(x, -x^2+4x).
spero sia chiaro ciao

[Mobility]

Non sono certo di aver capito, vediamo

Devo calcolare la distanza di un punto P sulla parabola di coordinate $(x;-x^2+4x)$ rispetto alle rette di coordinate $y=-4x+16$ e $y=1/4(x-4)$

sapendo che la somma delle loro distanze è $27/sqrt17$.

$4x+y-16=0$ e $x-4y-4=0$

Quindi

$d=(|4x-x^2+4x-16|)/sqrt17 + (|x-4(-x^2+4x)-4|)/sqrt17 = 27/sqrt17$

$d=(|-x^2+8x-16|)/sqrt17 + (|4x^2-15x-4|)/sqrt17 = 27/sqrt17$

quindi

$|-x^2+8x-16| + |4x^2-15x-4|= 27$

a questo punto posso supporre che x>0 e togliere il segno di valore assoluto?

Altrimenti devo discutere anche x<0

Comunque per x>0 abbiamo

$-x^2+8x-16+4x^2-15x-4= 27$

ovvero $3x^2-7x-47= 0$

che risolta mi dà:

$x=(7+-sqrt613)/6

che francamente mi sembra un tantino improbabile . Dove ho sbagliato?

[codino75]

l'errore che mi sembra tu abbia commesso e' alla fine, cioe' quando si e' trattato di togliere il valore assoluto.
infatti:

se il segno di cio' che sta dentro il valore assoluto e' + allora si puo' togliere il valore assoluto senza cambiare i segni;
se il segno di cio' che sta dentro il valore assoluto e' - allora si puo' togliere il valore assoluto, ma si devono cambiare tutti i segni;

in altre parole:

|E(x)| = E(x) per gli x tali che E(x)>0
|E(x)| = -E(x) per gli x tali che E(x)<0

invece tu hai fatto la scelta basandoti, invece che sul segno di cio' che era entro il valore assoluto, sul segno della x.
quindi la procedura corretta sarebbe quella di studiare il segno di ciascuna espressione che sta dentro il valore assoluto e poi, sapendo che siamo sull'arco di parabola, e quindi 0<=x<=4, vedere in tale intervallo l'espressione quale segno assume, per togliere poi i valori assoluti seguendo le indicazioni che ho scritto sopra.
inoltre, mi pare che la formula per la distanza punto-retta puo' essere scritta senza il valore assoluto, se si sa se il punto sta al di sopra o al di sotto della retta (e in questo caso mi pare cio' si possa sapere semplicemente guardando il disegno), anche se non mi ricordo bene come si accoppiano i segni in detta formula a seconda di tale informazione.
ciao

[Tony125]

Questo problema è gia stato postato qui sul forum un annetto fà dovresti trovarlo cun una buona ricerca. (Non chiedetemi come faccia a ricordarmene perchè in genere ho una pessima memoria )