Ancora sulla derivabilità di funzioni

[aleph_91]

E' vero che se $f:RR \to RR$ è derivabile in $0$ c'è un intorno di $0$ in cui $f$ è continua?

[ori90-votailprof]

Si. Il teorema della continuità e derivabilità enuncia che

$"Una funzione derivabile in un punto è continua in quel punto"$

Questo significa che la continuità è condizione necessaria ma non sufficiente per la derivabilità, cioè non vale l'inverso : non è detto che una funzione continua in un punto sia anche derivabile in quel punto.
In ultima analisi se la $f:RR \to RR $ è derivabile in $x=0$ ivi sarà continua.

[ViciousGoblin]

NON CONTINUATE A CASCARCI (vedere esempio dell'altro thread)

@aleph_91 Noto una sottile perversione ...

[aleph_91]

Cmq questo mostra quanto siano poco popolari alcuni concetti.

[ViciousGoblin]

Visto che ti diletti di derivate prova questo:

Data $f:[a,b]\to RR$ derivabile in ogni punto di $[a,b]$ con $f'(a)<0$ e $f'(b)>0$, posso dire che
esiste un punto $x$ in $]a,b[$ tale che $f'(x)=0$?. Se si' perche' ?

P.S: ovviamente la derivata in $a$ (in $b$) e' il limite destro (sinistro) del rapporto incrementale.