Ancora sui valori assoluti.. :/

[Mega-X]

ok ragazzi ho questo problema relativo alle serie: Dimostrare che la serie $sum_(n=0)^oo x^n$ è uniformemente convergente nell'intervallo $(-1,1)$, ho spezzettato la dimostrazione per $x in [0, 1)$ e $x in (-1, 0]$ e fino a $x in [0, 1)$ l'ho dimostrato (se volete ne posto anche la dimostrazione..) ma arrivato a $x in (-1,0]$ ho $R_n(x) = (x^(n+1))/(1-x)$ e quindi $|R_n(x)| < epsi$ diventa $(x^(n+1))/(1-x) < epsi$

per $-|x| < -1$ ed $n+1$ pari la dimostrazione non ha problemi

però per $-|x| < -1$ ed $n+1$ DIspari ottengo

$-(x^(n+1))/(1-x) < epsi$ (notare il meno all'inizio dell'espressione)

ma sapendo che $1-x$ è sempre positivo per $x$ negativo ed essendo $x$ negativo; $-x^(n+1)$ lo posso scrivere come $x^(n+1)$ ?! si può dire che è lo stesso?!

Rispondete per favore e grazie a chi mi risponde..

Mega-X

P.S. :

"Mega-X":(se volete ne posto anche la dimostrazione..)

[Mega-X]

ripensandoci se uso il "trucchetto" che siccome $x$ è negativo riscrivo $-x^(n+1)$ come $x^(n+1)$, allora coerentemente dovrò ANCHE riscrivere $1-x$ in $1+x$, vero?

[elgiovo]

Non ti complicare la vita: l'intervallo di convergenza di quella serie si trova con le serie geometriche. Quella è una serie di ragione $x$. Sicuramente sai che la somma n-esima vale $(1-x^(n+1))/(1-x)$ (lo sai, vero?). Ora, se $|x|<1$, passando al limite per $n to oo$, la serie converge alla funzione $1/(1-x)$, diverge altrimenti.

[Mega-X]

nooo io mi riferisco alla convergenza uniforme non alla convergenza vera e propria..

[elgiovo]

Se la serie converge totalmente converge anche uniformemente.

[Mega-X]

aah ma lol..

questa definizione c'è scritta sul libro la pagina dopo dell'esercizio che stavo facendo.. (Criterio di Weierstrass)

ok ma supponendo per assurdo che la serie non è totalmente convergente e supponendo tutto quello che avevo detto prima, è possibile effettuare il cambio da $-x^(n+1)$ in $x^(n+1)$ sapendo che $x$ è negativo!?!? (ovviamente penso che dovrò anche cambiare $1-x$ in $1+x$)

[elgiovo]

Puoi ma se cambi di segno il numeratore devi cambiare di segno il denominatore, come dici tu. Solo che l'opposto di $1-x$ non è $1+x$, ma $x-1$.

[Mega-X]

io dico che cambio proprio $-x^(n+1)$ in $x^(n+1)$ perché se so che $x$ è negativo allora considero $x = -|x|$ e sostituendo viene $-(-|x|)^(n+1) = |x|^(n+1)$ e anche il denominatore lo trasformo da $1-x, x<0$ in $1+|x|$

(Ho scordato il valore assoluto, però ora che sono riuscito a trasformare la scrittura del primo membro in positiva sono capace di dimostrare il resto..)

Ora il punto è: Si può fare così come ho fatto?

(Senza tenere conto che riguardando la dimostrazione c'è un punto in cui ho sbagliato e quindi non si dimostra in questo modo.. (ironia della sorte.. mwahhahaha e grrr allo stesso tempo.. ))

Detto questo scusate l'arcaicità della mia espressività e rispondete per favore alla mia domanda..