Ancora progressioni geometriche...
' Determina tre numeri, sapendo che sono in progressione geometrica decrescente, che la loro somma è $84$ e che la differenza fra il primo e il terzo è $36$
1) Dati del problema:
a) $a_1 + a_2 + a_ 3 = 84$
b) $ a_1 - a_3 = 36$.
(Tentativo di) risoluzione
Dalla relazione $a_1 - a_3 = 36$ e dal fatto che la progressione sia decrescente deduco che la ragione $q$ abbia un valore compreso tra $ 0 < q <1 $.
La formula per calcolare la $q$ è: $q = sqrt(a_3/a_1)$, ma non ho né $a_3$ né $a_1$, quindi provo a ricavarmeli.
Dai dati del problema non posso imbastire un sistema di equazioni a tre incognite, perché mi mancano informazioni su $a_2$; ho provato quindi, con tutte le relazioni che mi sono venute in mente, a porre in essere un sistema a due incognite, ma le uniche relazioni che sono riuscito a trovare sono le seguenti: $a_2 = 48 - 2a_3$ e $a_1 = a_3 + 36$. Queste non mi consentono di trovare alcunché.
Ho considerato anche $a_2 = a_1 * q$ e $a_3 = a_1 * q^2$ ma anche la $q$ è un'incognita.
Come sciogliere la matassa?
Vi ho esposto quello che ho cercato di fare perché vorrei anche che criticaste il mio modo di ragionare, con la speranza di poter diventare più efficace (ed anche efficiente) a risolvere problemi (a maggior ragione 'facili' come questi).
1) Dati del problema:
a) $a_1 + a_2 + a_ 3 = 84$
b) $ a_1 - a_3 = 36$.
(Tentativo di) risoluzione
Dalla relazione $a_1 - a_3 = 36$ e dal fatto che la progressione sia decrescente deduco che la ragione $q$ abbia un valore compreso tra $ 0 < q <1 $.
La formula per calcolare la $q$ è: $q = sqrt(a_3/a_1)$, ma non ho né $a_3$ né $a_1$, quindi provo a ricavarmeli.
Dai dati del problema non posso imbastire un sistema di equazioni a tre incognite, perché mi mancano informazioni su $a_2$; ho provato quindi, con tutte le relazioni che mi sono venute in mente, a porre in essere un sistema a due incognite, ma le uniche relazioni che sono riuscito a trovare sono le seguenti: $a_2 = 48 - 2a_3$ e $a_1 = a_3 + 36$. Queste non mi consentono di trovare alcunché.
Ho considerato anche $a_2 = a_1 * q$ e $a_3 = a_1 * q^2$ ma anche la $q$ è un'incognita.
Come sciogliere la matassa?
Vi ho esposto quello che ho cercato di fare perché vorrei anche che criticaste il mio modo di ragionare, con la speranza di poter diventare più efficace (ed anche efficiente) a risolvere problemi (a maggior ragione 'facili' come questi).
Risposte
EDIT: ci sono riuscito, mi bastava porre il sistema:
$ 0 < q < 1$
$ a_1(1 + q + q^2) = 84$
$ a_1 (1 - q^2) = 36$
$ 0 < q < 1$
$ a_1(1 + q + q^2) = 84$
$ a_1 (1 - q^2) = 36$
Esatto.
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