Ancora limiti notevoli..

[DaFnE1]

Scusate.. ancora "qualche" problemino con i lim notevoli..

$lim_(x->+oo)logx - sqrtx$

Io ho moltiplicato e diviso tutto per la somma del lim di partenza e ottengo:
$(logx^2 - x)/(logx +sqrtx)$ (1)

e dopo ho razionalizzato il denominatore, quindi ho semplificato il nimeratore de (1) con quello che ottengo al denominatore dopo aver razionalizzato e mi rimane $logx+sqrtx$

Dove ho sbagliato?? perchè dovrebbe venire 1/2!

E poi quest'altra..

$lim_(x->0+)(log2x)/(log3x)$
Non ho idea di come muovermi!
Dritte?!=(

[Steven11]

Ciao, iniziamo dal primo.

Intanto non è vero che il risultato è 1/2, se il libro riporta così allora c'è un errore.
Anche il programma Derive lo conferma, visto che il risultato è $-oo$
In generale, una potenza (in questo caso $x^(1/2)$) è un infinito più forte del logaritmo, e questo vale anche se ci fosse stato 1/3, 1/4, ... $1/(100000)$.

Quindi puoi liquidare il limite così:
$logx-sqrtx=sqrtx(frac{logx}{sqrtx}-1)$ quindi $sqrtx$ va a più infinito, la parentesi diventa $0-1$ cioè $-1$ e il risultato è $-oo$

Il secondo:
applichiamo la proprietà dei logaritmi
$log(ab)=loga+logb$ quindi abbiamo
$frac{log2x}{log3x}=frac{log2+logx}{log3+logx}$ ma capisci bene che i log tendono a meno infinito, quindi possiamo levare di mezzo le quantità $log2$ e $log3$ che sono numeri limitati.
In definitiva
$lim_(xto0^+)frac{log2x}{log3x}=lim_(xto0^+)frac{log2+logx}{log3+logx}=lim_(xto0^+)frac{logx}{logx}=1$

Questo vale anche se al posto di 2 e 3 ci fossero stati altri due positivi qualsiasi, vale la generalizzazione
$lim_(xto0^+)frac{log(nx)}{log(mx)}=1$ per $m,n$ numeri positivi strettamente.

Spero sia tutto chiaro.
Ciao!

[DaFnE1]

si,chiarissimo! Quindi in quest'altro caso..
$lim_(x->0+)(log (x +x^2))/logx$
$(log x+log x^2)/logx$
$(logx (1 +logx))/logx$
semplificando il denominatore con il logx messo in evidenza sopra è sbagliato come procedimento?! che confusione!!!=°

[Steven11]

"DaFnE":si,chiarissimo! Quindi in quest'altro caso..
$lim_(x->0+)(log (x +x^2))/logx$
$(log x+log x^2)/logx$

Attenzione perché hai applicato male la regola.
Infatti essa dice che
$log(ab)=loga+logb$
ovvero il logaritmo del prodotto (1 membro) è uguale alla somma dei logaritmi.
Tu invece hai fatto così: il logaritmo della somma è uguale alla somma dei logaritmi.
Tu hai $x+x^2$, non puoi spezzare in quel modo, potevi se avessi avuto $x*x^2$.

Comunque puoi lo stesso usare la regola dicendo che $x^2+x=x(x+1)$ quindi hai
$log[x(x+1)]=logx+log(x+1)$ e il limite diventa

$lim_(x->0+)(logx +log(x+1))/logx$
cioè
$lim_(x->0+)1+log(x+1)/logx$
La frazione quindi tende a zero perché hai infinito di sotto e zero di sopra (ovvero $log1$), quindi il tutto tende a $1$.

Tutto chiaro?
Ciao.

[DaFnE1]

si,adesso si.. ma da sola continuo ad essere una neglia..-____-' faccio errori troppo idioti e quindi troppo gravi!
sigh.. mi sa tanto che a febbraio non vedrò neanche il 18..=.='

[Steven11]

"DaFnE":si,adesso si.. ma da sola continuo ad essere una neglia..-____-' faccio errori troppo idioti e quindi troppo gravi!
sigh.. mi sa tanto che a febbraio non vedrò neanche il 18..=.='

In bocca al lupo per febbraio allora.

Comunque fare esercizi (come presumo stia facendo) non può non dare i suoi risultati, proporzionali ovviamente alla quantità e allo spirito con cui (gli esercizi) si affrontano.

[DaFnE1]

Crepi!!! Boh.. a dire il vero questa settimana c'ho perso un pò le speranze e ho mollato un attimino.. però condivido quello che dici.. mah!spero di svegliarmi bene domattina e di rimettermi sotto come so fare di solito,quanto meno avrò la certezza di averci messo il massimo dell'impegno.. poi dovesse andar male la 1° volta andrà meglio la seconda!di sicuro non sarà esercizio inutile!grazie sempre della disponibilità!

[Steven11]

Prego, buono studio allora.

Ciao.