Ancora condizioni di esistenza..

[Secchione95]

Ciao a tutti..
Mi scuso per il disturbo, ma vi volevo chiedere le C.E di queste due funzioni..
La prima è questa..
$ y = (1) / {sqrt[sen(x)] + sqrt[1-tg(x)]} $
Allora io ho impostato un sistema con i seguenti valori..
$ sqrt[sen(x)] + sqrt[1-tg(x)] != 0 $
$ x != \pi/2 + 2k\pi $ condizioni di esistenza della tangente
$ sen(x) >=0 $
$ 1-tg(x) >=0 $ che diventa $ tg(x) <=1 $
A questo punto però sono fermo perchè vi volevo chiedere una cosa riguardo la prima disuguaglianza...
Posso elevare tutti e due i membri immediatamente oppure devo porre della altre condizioni di esistenza??
Io farei così
$ sen(x) + 1 - tg(x) !=0 $
Però non so se è giusto perchè adesso sono di nuovo fermo...
La seconda invece è questa..
$ y = (2)/ {cos^2(x) - sen^2(x) - 2sen(x)cos(x)} $

Allora io ho impostato come C.E ...
$ cos^2(x) - sen^2(x) - 2sen(x)cos(x) != 0 $

Ho diviso tutti i membri per il coseno al quadrato di x ed ho ottenuto...

$ tg^2(x) + 2tg(x) - 1 != 0 $
Risolvendo l'equazione associata ho trovato questi due valori...
$ x = 45/2 ^^ x = - 135/2 $
Che sarebbero in radianti..

$ x = \pi/8 ^^ x = -3/8 \pi $
Però il libro mi da come unica soluzione la prima... Ossia
$ x != \pi/8 + 2k\pi $
Aspetto una risposta... Nell'attesa ci ringrazio anticipatamente .

[burm87]

Intanto non devi scusarti per nessun disturbo visto che il forum serve proprio a chiedere aiuto o chiarimenti, poi andiamo con ordine.
Inizio dal primo esercizio: le quattro condizioni sono corrette tranne per un piccolo particolare, la periodicità della condizione di esistenza della tangente deve essere $kpi$ e non $2kpi$ in quanto la tangente non esiste anche in $3/2pi$. In merito alla prima disuguaglianza non puoi elevare al quadrato in quella maniera, sarebbe comunque il quadrato di un binomio e ti manca quindi il doppio prodotto, puoi però portare una radice a destra ed elevare, ma ti sconsiglio questa strada. Chiediti piuttosto, quando la somma di due radici quadrate è diversa da zero?

[burm87]

Per quanto riguarda il secondo il procedimento va bene, al momento non capisco come mai non sia accettabile la seconda soluzione, prova a svolgerlo in altra maniera, per esempio notando che hai gli sviluppi del $cos2x$ e del $sin2x$.

[Secchione95]

Allora riguardo alla prima funzione, ho provato a fare come mi hai hai detto... Ho elevato con il doppio prodotto..
Quindi risulta..
$ sen(x) + 1 - tg(x) + 2[sen(x)][1-tg(x)] != 0 $
$ sen(x) + 1 - tg(x) + 2sen(x) - 2sen(x)tg(x) != 0 $
$ 3sen(x) + 1 - tg(x) - 2sen(x)tg(x) != 0 $
$ 3sen(x) + 1 - [sen(x)]/[cos(x)] - 2sen(x)[sen(x)]/[cos(x)] != 0 $
Che diventa..
$[cos(x) - sen(x) + 3sen(x)cos(x) - 2sen^2(x)]/[cos(x)] !=0 $
A questo punto però sono fermo perchè non so come risolvere il numeratore...

[Secchione95]

Riguardo alla seconda funzione invece ho provato a fare come mi hai detto...
Ho trasformato attraverso le formule di duplicazione ...

$ cos(2x) - sen(2x) != 0 $
Questa diventa una equazione lineare che bisogna risolverla con uno dei tre metodi disponibili...
Però essendoci 2x , secondo me l'unico metodo è quello del l'angolo aggiunto.

Però non mi viene un angolo perfetto...

[minomic]

Sì in questo caso l'angolo aggiunto va benissimo. Alla fine dovresti trovare $$2x = \frac{\pi}{4}+k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2}$$

[minomic]

Per quanto riguarda il primo quello che burm87 cercava di dirti è che una radice quadrata (o comunque di indice pari) assume valori sempre ................... quindi la somma di due radici quadrate non può che essere ...................

[Secchione95]

Intendi dire che una radice quadrata assume sempre valori positivi...??
Quindi la somma di due radici quadrate è per ogni x appartenente ad R ??
giusto ?

[minomic]

"Mimmo95":Intendi dire che una radice quadrata assume sempre valori positivi...??
Quindi la somma di due radici quadrate è per ogni x appartenente ad R ??
giusto ?

Una radice quadrata assume sempre valori positivi (o meglio non-negativi), nel senso che $$\sqrt{x}\ge 0,\ \forall x \in \mathbb{D}$$ dove \(\mathbb{D}\) indica il dominio della radice.
Di conseguenza la somma di radici sarà anch'essa positiva, poichè somma di quantità positive.

Dire che

"Mimmo95":la somma di due radici quadrate è per ogni x appartenente ad R

non ha molto senso per due motivi:
1. almeno una radice potrebbe anche non esistere
2. anche i numeri negativi appartengono a \(\mathbb{R}\) quindi non ci aiuta con il nostro esercizio
Per altri dubbi chiedi pure.

[Secchione95]

Scusa ma sono una testa dura...
Allora bisogna studiare ogni radice diversa da zero ???

Scusami ancora....

[minomic]

No, perchè la somma delle radici è comunque diversa (in questo caso maggiore) di zero.
Quello che devi fare è assicurarti che ogni radice esista per conto suo, mentre per il denominatore non ci sono problemi.

PS. Potrebbe esistere un caso in cui la somma di radici fa proprio $0$: questo accade se tutte le radici si annullano insieme. Ad esempio $$\sqrt{x-1} + \sqrt{1-x}$$ è una somma di radici che si annulla per $x = 1$.

[Secchione95]

Aaah.. Ho capito... Era una sciocchezza...
Grazie tante...