Analisi - integrale indefinito immediato con funzioni composte

[AvrilBoi]

Ciao!
Ho, per ora, un paio di integrali da risolvere ma di cui non ho il risultato. E c'è un dubbio che mi assale.
Ecco il primo:
(1)

Adesso, in teoria, dovrebbe essere nella forma f(x)*f'(x) e quindi può essere risolto normalmente, -1/3*cos(1+x^3). E in effetti la derivata di questa funzione è proprio la primitiva della (1).
Solo che, secondo me, non è nella forma f(x)*f'(x) perchè c'è di mezzo la funzione seno, la cui derivata è -coseno... nel senso, secondo me, l'integrale la cui primitiva è quella, cioè -1/3*cos(1+x^3), è questo:
Perchè bisogna sviluppare la la derivata di seno. Cioè perchè si deriva l'argomento di seno quando f(x) è tutta la funzione seno, e la derivata di seno, cioè coseno, andrebbe inclusa nell'integrale per ottenere la forma f(x)*f'(x)?

Secondo integrale:

La situazione è la stessa. E' sviluppata la derivata dell'argomento di ln, per cui è come se fosse nella forma f(x) * f ' (x) e quindi basta scrivere come risultato 1/2 ln [ ln (2x+1) ].
Ma anche in questo caso, secondo me, la funzione integranda che ci da quello come risultato sarebbe, moltiplicando per la derivata di ln(2x+1):

Come bisogna procedere e perchè?

[Cherubino]

1° integrale:

io sfrutterei la linearità dell'operazione di intergale, e procederei integrando per parti:

[math]\int x^2 \sin x (x^3 +1) dx = \int x^5 \sin x dx + \int x^2 \sin x dx[/math]

gli integrali del tipo x^n sin x si fanno per parti (e sono tabulati...);

2° integrale
utilizzando mathematica (http://integrals.wolfram.com/index.jsp) viene fuori che l'integrale di questa funzione è una funzione non esprimibile mediante funzioni elementari;
il risultato è

[math]\frac 1 2 li(2x +1)[/math]

dove li è la funzione Logaritmo Integrale:
http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/LogIntegral.html

[AvrilBoi]

Ok grazie. Quindi innanzitutto abbandoniamo la seconda che probabilmente contiene un errore nella traccia perchè quella funzione non l'abbiamo trattata, ma svolgiamo solo integrali esprimibili con funzioni elementari.
Poi per quanto riguarda il primo integrale, va bene la risoluzione per parti, ma ipotizzando (anche perchè quando fu risolta in classe non avevamo ancora affrontato l'integrazioe per parti) che si possa solo applicare la risoluzione degli integrali del tipo
f ( x ) * f ' ( x )
e prendendo in considerazione la funzione
per riconoscere un'integrazione di quel tipo, tale da dare come risultato , in cosa consiste la derivata prima che avrebbe dovuto essere presente e moltiplicata all'interno dell'integrale? Consiste nella derivata del seno, o solo del suo argomento? Perchè? :(

[Cherubino]

Ti scrivo alcuni esempi di funzioni integrande del tipo f(x) f'(x):

[math]\sin x \cos x[/math]

[math]\ln x \frac 1 x[/math]

Queste funzioni sono facili da integrare:
- se conosci l'uso dei diffesenziali:

[math]\int f(x) f'(x) dx = \int f(x) d(f(x)) = \frac 1 2 f^2(x) + c[/math]

- se conosci il metodo della sostituzione:

[math] \int f(x) f'(x) dx[/math]

sostituzione:

[math]f(x) = t[/math]

derivo:

[math]f'(x) dx = dt[/math]

quindi

[math]\int f(x) f'(x) dx = \int t dt = \frac 1 2 t^2 + c = \frac 1 2 f^2(x) +c [/math]

Vediamo un esempio:

[math]\int \frac {\ln x}{ x} dx[/math]

sostituisci

[math]\ln x = t[/math]

, quindi

[math]\frac 1 x dx = dt[/math]

e ottieni

[math]\int t dt = \frac 1 2 t^2 + c[/math]

e siccome

[math]t = \ln x[/math]

,

[math]\int \frac {\ln x }{x } = \frac 1 2 \ln^2 x + c[/math]

[AvrilBoi]

Ora leggo la risposta. Comunque la derivata di è 1/2 ln [ ln (2x+1) ] . Quindi almeno quando c'è di mezzo ln per applicare quel tipo di derivazione non dev'esserci soltanto il prodotto con la derivata dell'argomento bensì con la derivata di ln stesso.......

Letto... sì ma si può applicare direttamente senza sostituzione o altro, facendo finta che f(x) sia semplicemente x poichè nell'integrale compare anche la derivata di f(x). E il mio dubbio è sempre quello... nel caso di funzioni come ln, seno, coseno, all'interno dell'integrale cosa dovrebbe comparire per poter applicare subito quella regola, la derivata dell'argomento o di tutta la funzione? Per ln pare tutta la funzione, ma guardando il promo integrale che ho postato sembra che è necessaria la presenza della derivata dell'argomento.

[Cherubino]

(dimentichiamoci del 1/2 fuori dall'int per ora)

[math]\int \frac {2 dx} {\ln (2x +1) (2x+1)} [/math]

è un caso di f'(x)/f(x),
cosa diversa da f'(x)*f(x));

prova a sostituire ln(2x +1)= t,
e guarda cosa viene:

[math]\int \frac {dt}{t} = \ln t + c = \ln (\ln (2x+1)) + c[/math]

[AvrilBoi]

Ho espresso male allora... non dovevo dire f(x)*f'(x) ma più in generale...
Io semplicemente tratto f(x), in qualsiasi posto si trovi, numeratore o denominatore, come se fosse x, nel caso in cui f'(x) si trova moltiplicato al numeratore. Quindi se l'integrale di 1/x è ln(x), allora l'integrale di [1/f(x)]*f'(x) è ln[f(x)]

Comunque penso che prendendo quest'esempio è meglio:

Ecco...per avere quel risultato, non dovrebbe trovarsi la derivata della funzione, ossia coseno di x^2 * 2x e non semplicemente 2x che è solo la derivata dell'argomento?

[Cherubino]

Sta alla tua abilità accorgerti di quale pezzo è la derivata dell'altro:
per esempio in

[math]\int \sin (x^2) 2x dx[/math]

appare chiaramente x^2 e la sua derivata 2x, quindi

[math]t = x^2[/math]

[math]dt = 2x dx[/math]

[math]\int \sin (x^2) 2x dx = \int \sin (t) dt = -\cos t + c= -\cos(x^2) +c[/math]