Analisi - DERIVATE
ciau a tutti....allora ho da fare un es sulle derivate, mi da da trovare 3 parametri (a,b,c) con ovviamente 3 condizioni
la funzione deve essere continua, derivabile e derviabile 2 volte.
per le prime 2 condizioni tutto Ok..x la 3...qualcuno mi saprebbe dare delucidazioni???
grazie colleghi :)
ciauuuuuuu!
la funzione deve essere continua, derivabile e derviabile 2 volte.
per le prime 2 condizioni tutto Ok..x la 3...qualcuno mi saprebbe dare delucidazioni???
grazie colleghi :)
ciauuuuuuu!
Risposte
Imponi che la derivata seconda (la derivata della derivata) della funzione sia continua,
ovvero che in ogni punto del dominio la derivata seconda da destra sia uguale alla derivata seconda da sinistra.
ovvero che in ogni punto del dominio la derivata seconda da destra sia uguale alla derivata seconda da sinistra.
......mmm..ma mica abbiamo fatto le derivate seconde..
Ma ti arrendi per così poco?
La derivata seconda è semplicemente la derivata della derivata!
Vuoi un esempio?
f(x) = x^5 + x
f'(x) = 5 x^4 + 1
f''(x) = 20 x^3
f'''(x) = 60 x^2
f''''(x) = 120 x
f'''''(x) = 120
f''''''(x) = 0
La derivata di una funzione è una funzione, quindi può essere derivata.
La derivata seconda è semplicemente la derivata della derivata!
Vuoi un esempio?
f(x) = x^5 + x
f'(x) = 5 x^4 + 1
f''(x) = 20 x^3
f'''(x) = 60 x^2
f''''(x) = 120 x
f'''''(x) = 120
f''''''(x) = 0
La derivata di una funzione è una funzione, quindi può essere derivata.
MMMMMM.... Sinceramente c'è qualcosa che non mi torna. Spiego.
Se una funzione è derivabile 2 volte in tutti i punti del suo dominio, allora è anche derivabile 1 volta in tutti i punti e quindi anche continua. Ne segue che se prendi una qualsiasi funzione derivabile 2 volte, ad esempio
con a,b,c costanti reali il gioco è fatto. Non capisco cosa ci sia da fare in questo esercizio... Magari si richiede che la funzione abbia una forma particolare? (Ad esempio, sia razionale fratta?)
Fammi sapere.
P.S.: in ogni caso, ciò che dice Cherub è corretto, cioè la derivate di ordine n sono semplicemente le derivate prime delle derivate di ordine n-1, e quindi la derivata seconda altro non è che la derivata della derivata prima!
Se una funzione è derivabile 2 volte in tutti i punti del suo dominio, allora è anche derivabile 1 volta in tutti i punti e quindi anche continua. Ne segue che se prendi una qualsiasi funzione derivabile 2 volte, ad esempio
[math] y=a x^2+bx+c[/math]
con a,b,c costanti reali il gioco è fatto. Non capisco cosa ci sia da fare in questo esercizio... Magari si richiede che la funzione abbia una forma particolare? (Ad esempio, sia razionale fratta?)
Fammi sapere.
P.S.: in ogni caso, ciò che dice Cherub è corretto, cioè la derivate di ordine n sono semplicemente le derivate prime delle derivate di ordine n-1, e quindi la derivata seconda altro non è che la derivata della derivata prima!
allora
l'esercizio è:
y=ln(x^2+1) ---> x x>0
mi dava le tre condizioni, di cui sono riusicta a risolverne solo 2 (continuità e dervibalità), ottenendo c=0 e b=0.. mi manca la 3 condizione (--> dovrebbe uscire a=1)
l'esercizio è:
y=ln(x^2+1) ---> x x>0
mi dava le tre condizioni, di cui sono riusicta a risolverne solo 2 (continuità e dervibalità), ottenendo c=0 e b=0.. mi manca la 3 condizione (--> dovrebbe uscire a=1)
mmmmm....... continuo a non capire l'esercizio. Mi spieghi che significano quelle freccette e quei maggiore di zero ecc.?
insomma in parole povere è tutta una funzione, dove quella di ln è definita in x
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHHHHHHHHHHHHHHHH.....
Mo sì! Allora la funzione è
Prima cosa, determiniamo la condizione di continuità: questo vuol dire che i limiti destro e sinistro, in 0, coincidono. Quindi
e quindi la condizione
Uguagliando di nuovo i limiti da destra e sinistra otteniamo
e quindi
e di nuovo uguagliando i limiti otteniamo
e quindi
Tutto chiaro?
Mo sì! Allora la funzione è
[math]f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
\log(x^2+1) & & x\leq 0\\
& & \\
ax^2+bx+c & & x>0
\end{array}\right.[/math]
\log(x^2+1) & & x\leq 0\\
& & \\
ax^2+bx+c & & x>0
\end{array}\right.[/math]
Prima cosa, determiniamo la condizione di continuità: questo vuol dire che i limiti destro e sinistro, in 0, coincidono. Quindi
[math]\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=\log 1=0\qquad \lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=c[/math]
e quindi la condizione
[math]c=0[/math]
. Per la condizione di derivabilità osserva che la derivata della funzione è[math]f'(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
\frac{2x}{x^2+1} & & x\leq 0\\
& & \\
2ax+b & & x>0
\end{array}\right.[/math]
\frac{2x}{x^2+1} & & x\leq 0\\
& & \\
2ax+b & & x>0
\end{array}\right.[/math]
Uguagliando di nuovo i limiti da destra e sinistra otteniamo
[math]\lim_{x\rightarrow 0^-}f'(x)=0\qquad \lim_{x\rightarrow 0^+}f'(x)=b[/math]
e quindi
[math]b=0[/math]
. Infine per la derivata seconda abbiamo[math]f''(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
2\frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2} & & x\leq 0\\
& & \\
2a & & x>0
\end{array}\right.[/math]
2\frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2} & & x\leq 0\\
& & \\
2a & & x>0
\end{array}\right.[/math]
e di nuovo uguagliando i limiti otteniamo
[math]\lim_{x\rightarrow 0^-}f''(x)=2\qquad \lim_{x\rightarrow 0^+}f''(x)=2a[/math]
e quindi
[math]a=1[/math]
.Tutto chiaro?
..Ok i primi passaggi li avevo fatti...io sapevo il fatto della derivata 2° ma dato che il prof non ce ne ha mai parlato, non volevo fare il passo + lungo della gamba x poi essere rimproverata (-.-) perchè lui, se si può dire, uno stronzone.
edit: ma la derivata prima di ln etc....è ??? quella frazione???a me esce 0!
edit: ma la derivata prima di ln etc....è ??? quella frazione???a me esce 0!
Immagino.
la derivata prima di ln è quella frazione???....a me esce 0:(
poi un'altra cosa, non ci ha spiegato ancora come calcolare la derivata di uan fratta...la calcolo con il limite di h-->0 del rapporto incrementale?
poi un'altra cosa, non ci ha spiegato ancora come calcolare la derivata di uan fratta...la calcolo con il limite di h-->0 del rapporto incrementale?
l'unico caso di derivata = 0 è se hai una costante. quella è una funzione composta.
per la derivata della fratta, puoi cosiderarla come prodotto di due funzioni
per la derivata della fratta, puoi cosiderarla come prodotto di due funzioni
...a te qnt esce la derivata di ln?
MALEDETTEEEEEEEEEEEE:@
MALEDETTEEEEEEEEEEEE:@
La derivata di ln x è 1/x:
è sicuramente dimostrato su ogni testo di analisi (anche per le scuole superiori);
la dimostrazione si basa su un limite notevole dei logaritmi.
La trovi anche qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Regole_di_derivazione
è sicuramente dimostrato su ogni testo di analisi (anche per le scuole superiori);
la dimostrazione si basa su un limite notevole dei logaritmi.
La trovi anche qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Regole_di_derivazione
Ok.......ho capito il mio errore...Grazie Ciampax e un grazie a nico x il supporto su msn! ciauuuuu :)
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