Altro problema sul teorema della bisettrice.
Salve a tutti; ho il seguente problema di cui non so proprio come cominciare per risolverlo :
Nel triangolo ABC la bisettrice dell'angolo B interseca AC nel punto P distante 112a da A e 63a da C. Determinare il perimetro del triangolo ABC sapendo che la perpendicolare in B a BP interseca la retta AC nel punto D tale che AB+BC=CD.
Il libro come suggerimento da: BD è la bisettrice....
Non riesco a capire di cosa sia la bisettrice... forse dell'angolo esterno in B.. credo che questa sia la chiave ma non trovo il motivo.
Potreste avviarmi nella risoluzione?
Grazie a tutti.
Nel triangolo ABC la bisettrice dell'angolo B interseca AC nel punto P distante 112a da A e 63a da C. Determinare il perimetro del triangolo ABC sapendo che la perpendicolare in B a BP interseca la retta AC nel punto D tale che AB+BC=CD.
Il libro come suggerimento da: BD è la bisettrice....
Non riesco a capire di cosa sia la bisettrice... forse dell'angolo esterno in B.. credo che questa sia la chiave ma non trovo il motivo.
Potreste avviarmi nella risoluzione?
Grazie a tutti.
Risposte
io penso che si riferisca ad una costruzione che puoi fare tu a partire dal punto D.
ad esempio se prendi il punto P', simmetrico di P rispetto a B, e lo unisci con D, ottieni un triangolo isoscele PP'D, che però non ti aiuta.
se però prolunghi AB e/o AC fino ad incontrare la retta P'D, puoi usare le misure di AB e di BC per le proporzioni.
io ho provato brutalmente a chiamare 112x e 63x queste misure, da cui CD=175x, e con le nuove proporzioni, se non ho sbagliato i calcoli, si ha $x=63/49 a$.
prova e facci sapere. ciao.
ad esempio se prendi il punto P', simmetrico di P rispetto a B, e lo unisci con D, ottieni un triangolo isoscele PP'D, che però non ti aiuta.
se però prolunghi AB e/o AC fino ad incontrare la retta P'D, puoi usare le misure di AB e di BC per le proporzioni.
io ho provato brutalmente a chiamare 112x e 63x queste misure, da cui CD=175x, e con le nuove proporzioni, se non ho sbagliato i calcoli, si ha $x=63/49 a$.
prova e facci sapere. ciao.
OK, grazie ada
Ci rinuncio XD anche perché non sono problemi per casa ma esercitazione per il compito di domani.
Comunque grazie tante ada.
Comunque grazie tante ada.
BD è la bisettrice dell'angolo esterno in quanto la bisettrice dell'angolo interno e quella dell'angolo esterno, uscenti da uno stesso vertice, sono tra loro perpendicolari.
per cui dovrei applicare il teorema della bisettrice esterna?
sì, probabilmente il libro intendeva suggerirti questo.
ma non è necessario, perché questo fatto (che ti ha detto @melia) non fa altro che confermare la validità della costruzione che ti suggerivo io.
vedi tu come siete abituati a fare...
ma non è necessario, perché questo fatto (che ti ha detto @melia) non fa altro che confermare la validità della costruzione che ti suggerivo io.
vedi tu come siete abituati a fare...
Per il momento non riesco a risolverlo ; più tardi riproverò poiché ora ripasso un po di algebra.
Grazie amelia ed ada.
Non appena trovo qualcosa vi faccio sapere.
Grazie amelia ed ada.
Non appena trovo qualcosa vi faccio sapere.
prego. ti vorrei però invitare a riflettere un attimo sulla costruzione che ti proponevo. se chiami E il punto d'intersezione tra le rette AB e P'D, al triangolo EDA puoi applicare il teorema della bisettrice "interna", e BE=BC e ED=CD ...
Suggerisco anche un'altra soluzione, che sfrutta la traccia del libro; avviso che non ho completato il problema e che per brevità di scrittura pongo p=112a e q=63a.
Detta E l'intersezione fra la retta BC e la perpendicolare a BD in A, poiché BD è bisettrice dell'angolo esterno, nel triangolo ABE altezza e bisettrice coincidono; ne segue AB = EB. Quindi CD = AB+BC = EB+BC = CE: il triangolo ECD è isoscele su base DE.
Applichiamo ora il teorema della bisettrice al triangolo ABC: AB:BC = p:q, cioè EB:BC = p:q; per lo stesso teorema (triangolo ECD) DE:DC = EB: BC e quindi DE:DC = p:q, che permette di calcolare il coseno dell'angolo EDC; noto un angolo, non è difficile arrivare a conclusione.
Detta E l'intersezione fra la retta BC e la perpendicolare a BD in A, poiché BD è bisettrice dell'angolo esterno, nel triangolo ABE altezza e bisettrice coincidono; ne segue AB = EB. Quindi CD = AB+BC = EB+BC = CE: il triangolo ECD è isoscele su base DE.
Applichiamo ora il teorema della bisettrice al triangolo ABC: AB:BC = p:q, cioè EB:BC = p:q; per lo stesso teorema (triangolo ECD) DE:DC = EB: BC e quindi DE:DC = p:q, che permette di calcolare il coseno dell'angolo EDC; noto un angolo, non è difficile arrivare a conclusione.
giammaria grazie dell'aiuto; ma purtroppo faccio il 2 superiore per cui niente sen e cos.
Grazie lo stesso
Ciao
Grazie lo stesso
Ciao
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