Altro problema

[giuseppe87x]

Dati nel piano una circonferenza C di centro O e raggio r, e due punti A e
B, cercare gli eventuali punti P di C tali che la retta congiungente P con A e
la retta congiungente P con B siano perpendicolari. Si dica sotto
quali condizioni per O, r, A, B, il problema ammette una o più soluzioni.

L'ho fatto per via analitica ma vengono fuori dei calcoli lunghissimi. Avete qualche idea migliore?

[matematicoestinto]

Purtroppo non so come si postano i disegni e quindi dovrai accontentarti di una spiegazione per iscritto.

Il punto P che si trova sulla circonferenza è vertice del triangolo PAB che per ipotesi è retto. Siccome Il punto P vede la corda AB sotto un angolo di 90°, tale corda sarà il diametro della circonferenza. Le condizioni sono quindi che A, O, B siano allineati.

[mircoFN1]

La discussione mi sembra un po' strana. Direi così:

i punti $P$ sono l'intersezione della circonferenza data con quella che ha diametro $AB$.

Chiamo $O$ il centro del cerchio dato, $M$ il punto medio di $AB$, $\rho$ il raggio $MA$ e $d$ la distanza $OM$:

se $d>=r$ ($M$ fuori o sulla circonferenza data)
1 soluzione per $\rho=d-r$ e $\rho=d+r$
2 soluzioni per $d-r<\rho
se $d 1 soluzione per $\rho=r-d$ e $\rho=d+r$
2 soluzioni per $r-d<\rho
poi ci sono tutti i casi particolari di alcuni punti coincidenti ......

Con questa impostazione dovrebbe essere agevole ottenere anche una soluzione analitica sul piano cartesiano.

ciao

[giuseppe87x]

Matematicoestinto $A$ e $B$ non sono due punti della circonferenza, ma due punti qualsiasi, altrimenti il problema sarebbe banale.

@mirco: proverò a sviluppare il tuo ragionamento sul piano cartesiano, grazie.

[matematicoestinto]

"giuseppe87x":Matematicoestinto $A$ e $B$ non sono due punti della circonferenza, ma due punti qualsiasi, altrimenti il problema sarebbe banale.

@mirco: proverò a sviluppare il tuo ragionamento sul piano cartesiano, grazie.

Hai ragione.... ho letto male..

[desko]

Carino il problema, proprio bello.
Non posto la mia dimostrazione perché sono un po' un intruso fra gli studenti di medie e superiori.

[giuseppe87x]

No, non ti preoccupare...postala pure!

[matematicoestinto]

Allora presi i punti A e B fuori dalla circonferenza si ha che il triangolo ABP è rettangolo. Prolungando i cateti fino a incontrare la circonferenza si individuerà un altro triangolo rettangolo. I punti in cui si deve per forza trvare P sono (se nn sbaglio) quelli di intersezione fra la circonferenza C e quella circoscritta al triangollo ABP. NN so se così va beme... anke perckè mancano le condizioni r.

[desko]

"giuseppe87x":No, non ti preoccupare...postala pure!

Ah beh, allora.

Dunque: abbiamo una circonferenza e due punti qualunque del piano (che potrebbero quindi essere interni, esterni, sulla circonferenza, uno può essere sul centro, etc.)
Si disegni la circonferenz di diametro AB: il punto P giacerà su di essa (in questo modo APB è per forza retto).
Quindi non reta altro da fare che intersecare le due circonferenze (questa appena costruita e quella data): potremmero essere secanti (=> due soluzioni), tangenti (=> una soluzione) o esterne (=> nessuna soluzione)
Ci sono poi dei casi particolari che generano dei triangoli degeneri (quindi da escludere):
- se AB è un diametro di C allora P è un qualunque punto della circonferenza (esclusi A e B);
- se A e B giacciono su C (ma non sono diametralmente opposti) allora P coincide con uno di essi e quindi il triangolo APB degenera nel segmento AB;
- se solo A (o solo B) giace su C allora c'è una sola soluzione, perché P può trovarsi in A (o B) generando un triangolo degenere, o nell'ulteriore punto di intersezione.

Purtroppo ora non ho tempo per fare i disegni, ma spero che le varie situazioni descritte siano abbastanza chiare.

La condizione da porre è che la distanza fra il punto medio di AB e O sia minore della somma fra r e AB/2; si lasciano al lettore i facili calcoli.