Altro dubbio sul courant &robbins

[pippo931]

salve, sempre nel libro "che cos'è la matematica?" viene proposto un esercizio: chiede di dimostrare la proposizione che dice che per trovare tutti i divisori di un numero a si deve scomporre a come $a=p_1^(alpha_1)p_2^(alpha_2)...p_r^(alpha_r)$ con p che sono primi distinti tra loro, i divisori sono i numeri $b=p_1^(beta_1)p_2^(beta_2)...p_r^(alpha_r)$ soddisfando le diseguaglianze $0<=beta_1<=alpha_1$ ... $0<=beta_r<=alpha_r$

vorrei sapere se la seguente risposta è corretta

intndiamo divisore di un numero a quel numero intero b tale che la divisione di a per b dia un numero naturale, oppure intendiamo divisore di un numero a quel numero intero b che si ottiene combinando i numeri primi che compongono la fattorizzazione di a.

quindi perché $a/b=(p_1^(alpha_1)p_2^(alpha_2)...p_r^(alpha_r))/(p_1^(beta_1)p_2^(beta_2)...p_r^(alpha_r))$ sia intero le beta non devono superare le rispettive alfa, in modo che gli esponenti restino positivi e il quoziente intero. Forse non è una grande dimostrazione ma la cosa mi sembra abbastanza intuitiva.

In secondo luogo il libro chiede di dimostrare perche il numero di divisori di a (compresi 1 e a) siano uguali a $(alpha_1+1)(alpha_2+1)...(alpha_r+1)$.
si tratta delle combinazioni diverse che le beta (comprese tra lo 0 e le alfa) possono assumere in tutti i fattori del divisore, il +1 serve perché le beta possono valere 0.

è giusto il tutto?

[silente1]

Per dimostrare la prima parte potresti provare a porre $beta_i>alpha_i$. Dovrebbe discenderene qualche assurdo.
Ciao

[Steven11]

$(alpha_1+1)(alpha_2+1)...(alpha_r+1)$.
si tratta delle combinazioni diverse che le beta (comprese tra lo 0 e le alfa) possono assumere in tutti i fattori del divisore, il +1 serve perché le beta possono valere 0.

Esattamente.
Stai moltiplicando tra loro tutte le possibili scelte di $beta_1$, di $beta_2$ etc.

Io la prima dimostrazione la lascerei così come la hai detta, direi che è accettabile.

Ciao.