$(alpha(x))/(l+alpha(x))$ funzione infinitesima per $x->c$

[jellybean22]

Buona sera a tutti, ho qualche dubbio sulla dimostrazione di un corollario presente sul libro secondo il quale: "siano $alpha(x)$ una funzione infinitesima per $x->c$ e $l$ un numero reale non nullo. Allora $(alpha(x))/(l+alpha(x))$ è una funzione infinitesima per $x->c$". Il libro parte col dimostrare che $1/(l+alpha(x))$ è limitata in un intorno del punto $c$. Quindi per ipotesi $|alpha(x)| Infine non capisco questo passaggio per dimostrare che la funzione citata precedentemente è limitata: $1/|l+alpha(x)|<=1/(|l|-|alpha(x)|)<1/(|l|-|l|/2)=2/|l|$.

[Sk_Anonymous]

"Francesco.93":

$1/|l+alpha(x)|<=1/|l|-|alpha(x)|<1/(|l|-|l|/2)=2/|l|$

Probabilmente intendevi scrivere:

$1/|l+alpha(x)|<=1/(|l|-|alpha(x)|)<1/(|l|-|l|/2)=2/|l|$

Prova ad avvalerti della seguente proprietà:

$|a+b|>=|a|-|b|$

[jellybean22]

Chiedo scusa, ho dimenticato le parentesi. Comunque secondo quella proprietà facendo il "reciproco" della disequazione, mi ritrovo nella situazione che ho scritto. Ora perché nel penultimo membro sostituisce ad $alpha(x)$ quel valore? E poi perché ad $epsilon$ sostituisce $|l|/2$?? Non mi è chiaro.

Grazie della risposta!

[Sk_Anonymous]

Non ho capito se questo passaggio ti è chiaro:

$1/(|l|-|alpha(x)|)<1/(|l|-|l|/2)$

In ogni modo, mi pare evidente che l'autore necessiti della seguente disuguaglianza:

$1/|l+alpha(x)|<=2/|l|$

Mi sembra strano che il motivo di questa necessità non si evinca dalla dimostrazione, anche perchè bisogna ancora considerare $[alpha(x)]$ al numeratore. Per non inventare di nuovo la ruota, mi confermi che non hai nessun altro spunto?

[jellybean22]

No... non l'ho capito quel passaggio.. Comunque confermo che non ho altro spunto...

Grazie ancora.

[Sk_Anonymous]

L'autore vuole dimostrare che esiste un intorno di $[c]$ tale che:

$|(alpha(x))/(l+alpha(x))|
Ora, siccome $[alpha(x)]$ è infinitesima, esiste un intorno di $[c]$ tale che:

$|alpha(x)|<|l|/2epsilon$

Del resto, $[|l|/2]$ è solo una costante positiva, ciò che garantisce l'esistenza di questo intorno. Inoltre, quando $[epsilon=1]$, in particolare si ottiene:

$|alpha(x)|<|l|/2$

valida a maggior ragione per ogni $[0
$|(alpha(x))/(l+alpha(x))|=|alpha(x)|/(|l+alpha(x)|)=|alpha(x)|*1/(|l+alpha(x)|)<|l|/2epsilon*2/|l|=epsilon rarr |(alpha(x))/(l+alpha(x))|
Nel frattempo, ho utilizzato il risultato del quale stavamo discutendo:

$1/|l+alpha(x)|<=1/(|l|-|alpha(x)|)<1/(|l|-|l|/2)=2/|l|$

Il passaggio oscuro di questo risultato è giustificato dalle seguenti considerazioni:

$[|alpha(x)|<|l|/2] rarr [|l|-|alpha(x)|>|l|-|l|/2] rarr [1/(|l|-|alpha(x)|)<1/(|l|-|l|/2)]$

In ogni modo, se sei uno studente delle scuole secondarie, potresti trovare "strane" queste dimostrazioni. Tuttavia, anche solo per il fatto che hai mostrato un certo interesse, devo presumere che tu sia sufficientemente abile o appassionato per poter comprendere quanto è stato scritto.

[jellybean22]

Quindi, vediamo se ho capito: nel passaggio $|alpha(x)|*1/(|l+alpha(x)|)<|l|/2epsilon*2/|l|=epsilon$ non hai fatto altro che "moltiplicare" le disequazioni $|alpha(x)|<|l|/2*epsilon$ ed $1/(|l|-|alpha(x)|)<2/|l|$ per poter giungere quindi alla conclusione che $(alpha(x))/(l-alpha(x)) Comunque si, sono abbastanza appassionato e faccio il quinto superiore . All'università spero di poter studiare matematica!

Grazie dell'aiuto comunque!!

[Sk_Anonymous]

Nella definizione di limite per una funzione $[f(x)]$ infinitesima si utilizza la condizione:

$|f(x)|
e spesso gli autori pretendono di dimostrare il risultato in quella forma. Non c'è dubbio che lo stesso concetto potrebbe essere espresso mediante la condizione:

$|f(x)|
con $[A>0]$. Per fare un altro esempio, nella dimostrazione della somma dei limiti si parte con le seguenti condizioni:

$|f(x)-l_1|
$|g(x)-l_2|
proprio per avere:

$|f(x)+g(x)-l_1-l_2|
Ma non c'è dubbio che procedere con:

$|f(x)-l_1|
$|g(x)-l_2|
per avere:

$|f(x)+g(x)-l_1-l_2|<2epsilon$

sarebbe del tutto equivalente. Se vuoi la mia opinione, lo considero piuttosto artificioso. Gioverebbe sempre sottolineare che questo sforzo di avere $[epsilon]$ alla fine è del tutto irrilevante, onde evitare che lo studente pensi che questo modo di procedere sia fondamentale.

[jellybean22]

Perfetto, ho capito. Quindi in pratica utllizzano $|l|/2$ per far uscire alla fine $epsilon$ "così com'è", per non confondere in un certo senso le idee allo studente. Anche se sinceramente mi sono confuso più così. Perché ad esempio il $2epsilon$ che esce nella dimostrazione del limite della somma di due funzioni per $x->c$, non mi ha creato alcun problema...

Grazie dell'aiuto!