Allargare l'insieme delle soluzioni
Elevare al quadrato un'equazione, se non si impongono i due membri positivi, allarga l'insieme delle soluzioni; cioè passare da $sqrt(f(x))=g(x)$ a $f(x)=(g(x))^2$.
E se si eleva ad un $n$ pari maggiore di 2, l'insieme delle soluzioni viene aumentato di più o di meno rispetto all'elevamento alla seconda?
E se si eleva ad un $n$ pari maggiore di 2, l'insieme delle soluzioni viene aumentato di più o di meno rispetto all'elevamento alla seconda?
Risposte
Cosí a naso mi verrebbe da dire che viene aumentato di una quantita non inferiore all'elevamento alla seconda.
Senza scomodare i radicali, si consideri l'equazione
$x=1$
cha ha $1$ come unica soluzione.
Elevando alla seconda si ottiene
$x^2=1$
che ha $1$ e $-1$ come soluzioni.
Elevando alla quarta si ha
$x^4 = 1$
che ha $1$, $-1$, $i$ e $-i$ come soluzioni e cosí via.
Non solo, ma si aggiungono soluzioni anche se si eleva a potenze dispari. Ad esempio elevando al cubo si ha
$x^3 = 1$
che ha come soluzioni $1$, $-1/2+sqrt(3)/2i$ e $-1/2-sqrt(3)/2i$ (analogo ragionamento per l'elevamento a potenze dispari superiori).
Se l'equazione non è algebrica, ovvero coinvolge funzioni trascendenti come $senx$, $logx$, ecc. le cose naturalmente si complicano ma credo che piú è alto l'ordine di elevamento a potenza piú si rischia di aggiungere soluzioni che prima non c'erano.
Senza scomodare i radicali, si consideri l'equazione
$x=1$
cha ha $1$ come unica soluzione.
Elevando alla seconda si ottiene
$x^2=1$
che ha $1$ e $-1$ come soluzioni.
Elevando alla quarta si ha
$x^4 = 1$
che ha $1$, $-1$, $i$ e $-i$ come soluzioni e cosí via.
Non solo, ma si aggiungono soluzioni anche se si eleva a potenze dispari. Ad esempio elevando al cubo si ha
$x^3 = 1$
che ha come soluzioni $1$, $-1/2+sqrt(3)/2i$ e $-1/2-sqrt(3)/2i$ (analogo ragionamento per l'elevamento a potenze dispari superiori).
Se l'equazione non è algebrica, ovvero coinvolge funzioni trascendenti come $senx$, $logx$, ecc. le cose naturalmente si complicano ma credo che piú è alto l'ordine di elevamento a potenza piú si rischia di aggiungere soluzioni che prima non c'erano.
Ovviamente occorre specificare se interessano solo le soluzioni reali o tutte le soluzioni complesse.
"elios":
Elevare al quadrato un'equazione, se non si impongono i due membri positivi, allarga l'insieme delle soluzioni; cioè passare da $sqrt(f(x))=g(x)$ a $f(x)=(g(x))^2$.
Guarda che non è sempre vero.
Scusa, wizard, potresti scrivermi i casi in cui non è vero ciò che è stato detto ?
Una qualunque eqauzione che presenti come radicando un modulo ha il medesimo insieme delle soluzioni della equazione medesima elevata al quadrato.
Prendi ad esempio $\sqrt{|2x|}=6$. Hai che $x=+-18$ sono entrambe radici dell'equazione. Se elevi al quadrato restano ancora e solo $x=+-18$.
Prendi ad esempio $\sqrt{|2x|}=6$. Hai che $x=+-18$ sono entrambe radici dell'equazione. Se elevi al quadrato restano ancora e solo $x=+-18$.
Sì, l'insieme soluzione non varia se $f(x)$ presuppone $f(x)>0$ (condizione per elevare al quadrato).
Quindi se si considerano solo i reali, l'elevamento alla quarta non allarga l'insieme delle soluzioni?
Quindi se si considerano solo i reali, l'elevamento alla quarta non allarga l'insieme delle soluzioni?
"elios":
Sì, l'insieme soluzione non varia se $f(x)$ presuppone $f(x)>0$ (condizione per elevare al quadrato).
Quindi se si considerano solo i reali, l'elevamento alla quarta non allarga l'insieme delle soluzioni?
Dipende.
$sqrt(x+2)=3$ elevato alla seconda diventa $x+2=9$ da cui $x=7$; elevato alla quarta diventa $(x+2)^2=9^2$ da cui $x+2=+-9$ cioè $x=7$ e $x= - 11$
$sqrt(x+2)=x$ elevato alla seconda diventa $x+2=x^2$ da cui $x=-1$ e $x=2$; elevato alla quarta diventa $(x+2)^2=x^4$ da cui $x+2=+-x^2$ cioè $x=-1$ e $x=2$ e l'altra equazione non ammette soluzioni reali, questa volta, ma potrebbe benissimo avere due soluzioni reali.
Sia da ricolvere $\sqrt{f(x)}=g(x)$; si ha $(\sqrt{f(x)})^{4}=(g(x))^{4}=>(f(x))^{2}=(g(x))^{4}=>0=(g(x))^{4}-(f(x))^{2}=>((g(x))^{2}-f(x))((g(x))^{2}+f(x))=0$. A questo punto come giustamente detto da @melia dipende che razza di polinomi sono $f(x)$ e $g(x)$. Come già detto da Cozza Taddeo, l'insieme delle soluzioni certamente non viene ristretto.
Grazie!
Consiglio: spesso un disegno semplifica le cose.
Se abbiamo l'equazione
$sqrt(4-x^2) = 3 - x$
possiamo visualizzare la situazione nel piano cartesiano,
dove abbiamo una semicirconferenza (con centro nell'origine e raggio 2) e
una retta (parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante).
Se abbiamo l'equazione
$sqrt(4-x^2) = 3 - x$
possiamo visualizzare la situazione nel piano cartesiano,
dove abbiamo una semicirconferenza (con centro nell'origine e raggio 2) e
una retta (parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante).
"franced":
Consiglio: spesso un disegno semplifica le cose.
Se abbiamo l'equazione
$sqrt(4-x^2) = 3 - x$
possiamo visualizzare la situazione nel piano cartesiano,
dove abbiamo una semicirconferenza (con centro nell'origine e raggio 2) e
una retta (parallela alla bisettrice del secondo e quarto quadrante).
Quando scartiamo dei valori, in realtà c'è una ragione geometrica alla base.
Ecco un esempio:
$sqrt(25 - x^2) = 2x - 5$
elevando al quadrato otteniamo l'equazione:
$-5 x^2 + 20 x = 0$
da cui ricaviamo le soluzioni
$x_1 = 0$ (da scartare)
e
$x_2 = 4$ (accettabile) .
La prima soluzione va scartata perché l'espressione $2x-5$ è negativa se $x=0$
(e quindi non può essere uguagliata al radicale); la seconda è, al contrario, accettabile.
Però, se interpretiamo il tutto nel piano cartesiano, si vede che il punto di coordinate $(0 ; -5)$
è intersezione della semicirconferenza negativa (cioè inferiore) di centro l'origine e raggio 5
con la retta $y = 2x - 5$.
L'altro punto di coordinate $(4 ; 3)$ appartiene alla retta e alla semicirconferenza positiva,
e quindi troviamo come soluzione accettabile la sua ascissa.
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