[Algebra] Disequazione irrazionale fratta di 2° grado
Buongiorno a tutti i forumisti!
Ho la seguente disequazione: $(sqrt(2x-x^2))/(1-x)>=1$.
Per prima cosa ho calcolato le C.E. del radicale al numeratore: $0<=x<=2$.
Successivamente ho calcolato quelle per il denominatore: $x!=1$.
Ora mi è venuto un dubbio. Bisogna mettere anche la condizione $x<1$, con la quale ci si assicura che anche il denominatore sia positivo, dal momento che la consegna ci fa capire che la frazione dev'essere positiva?
Sono comunque andato avanti, elevando al quadrato: $(2x-x^2)/(1+x^2-2x)>=1 hArr (-2x^2+4x-1)/(x^2-2x+1)>=0$.
Ho studiato il segno dei termini della frazione: il denominatore è sempre positivo, ma va escluso il valore $x=1$; il numeratore ha zeri $(2+-sqrt(2))/2$.
La frazione è dunque positiva o nulla per i valori di $x$ tali che $(2-sqrt(2))/2<=x<=(2+sqrt(2))/2, x!=1$.
Non sono però sicuro della mia soluzione perché mi ferma il dubbio suddetto.
Potreste darmi una mano?
Ho la seguente disequazione: $(sqrt(2x-x^2))/(1-x)>=1$.
Per prima cosa ho calcolato le C.E. del radicale al numeratore: $0<=x<=2$.
Successivamente ho calcolato quelle per il denominatore: $x!=1$.
Ora mi è venuto un dubbio. Bisogna mettere anche la condizione $x<1$, con la quale ci si assicura che anche il denominatore sia positivo, dal momento che la consegna ci fa capire che la frazione dev'essere positiva?
Sono comunque andato avanti, elevando al quadrato: $(2x-x^2)/(1+x^2-2x)>=1 hArr (-2x^2+4x-1)/(x^2-2x+1)>=0$.
Ho studiato il segno dei termini della frazione: il denominatore è sempre positivo, ma va escluso il valore $x=1$; il numeratore ha zeri $(2+-sqrt(2))/2$.
La frazione è dunque positiva o nulla per i valori di $x$ tali che $(2-sqrt(2))/2<=x<=(2+sqrt(2))/2, x!=1$.
Non sono però sicuro della mia soluzione perché mi ferma il dubbio suddetto.
Potreste darmi una mano?
Risposte
Non serve mettere la condizione [tex]x<1[/tex].
La soluzione non è completa: devi intersecare le soluzioni trovate con la condizione [tex]0\leqslant x \leqslant 2[/tex].
La soluzione non è completa: devi intersecare le soluzioni trovate con la condizione [tex]0\leqslant x \leqslant 2[/tex].
ragiona.
tu sai che il membro sinistro della disequazione è maggiore o uguale di $1$.
sarà anche maggiore di $0$ ?
direi di sì. quindi se possiamo limitare i valori accettabili della $x$, meglio farlo no?
anche perchè in questo caso se non lo fai e non ci stai attento arrivi ad un risultato sbagliato quale è il tuo.
occhio Wiz, sì che serve tenerne conto, perchè elevi al quadrato.
non puoi avere soluzioni accettabili maggiori di $1$.
tu sai che il membro sinistro della disequazione è maggiore o uguale di $1$.
sarà anche maggiore di $0$ ?
direi di sì. quindi se possiamo limitare i valori accettabili della $x$, meglio farlo no?
anche perchè in questo caso se non lo fai e non ci stai attento arrivi ad un risultato sbagliato quale è il tuo.
occhio Wiz, sì che serve tenerne conto, perchè elevi al quadrato.
non puoi avere soluzioni accettabili maggiori di $1$.
Ok, grazie: velocissimi!
Allora le soluzioni che ho trovato le avevo già intersecate con le prime due condizioni che avevo scritto.
Però, con la condizione $x<1$, le soluzioni diventano $(2-sqrt(2))/2<=x<1$. Ma non so cosa fare
P.S.: Giustoooo blackbishop, si eleva al quadrato quindi entrambi i membri devono essere positivi o nulli!!!!!
Allora le soluzioni che ho trovato le avevo già intersecate con le prime due condizioni che avevo scritto.
Però, con la condizione $x<1$, le soluzioni diventano $(2-sqrt(2))/2<=x<1$. Ma non so cosa fare
P.S.: Giustoooo blackbishop, si eleva al quadrato quindi entrambi i membri devono essere positivi o nulli!!!!!
no non dicevo assolutamente quello.
non è mica vero che per elevare $a$ al quadrato si deve avere che $a$ è positivo è nullo, è una sciocchezza.
piuttosto se io ho una equazione tipo $x=b$ e la risolvo ponendo $x^2=b^2$ allora troverò 2 soluzioni di $x$, mentre nella mia equazione originale ne esiste una sola.
non è mica vero che per elevare $a$ al quadrato si deve avere che $a$ è positivo è nullo, è una sciocchezza.
piuttosto se io ho una equazione tipo $x=b$ e la risolvo ponendo $x^2=b^2$ allora troverò 2 soluzioni di $x$, mentre nella mia equazione originale ne esiste una sola.
"blackbishop13":
non è mica vero che per elevare $a$ al quadrato si deve avere che $a$ è positivo è nullo, è una sciocchezza.
Sìsì questo è logico, intendevo in una disequazione. Ad esempio $a
"blackbishop13":
piuttosto se io ho una equazione tipo $x=b$ e la risolvo ponendo $x^2=b^2$ allora troverò 2 soluzioni di $x$, mentre nella mia equazione originale ne esiste una sola.
Mmm, mi sa che non ti seguo
. Le ultime soluzioni che ho scritto vanno bene?
sì sono giuste mi pare, ma hai praticamente tirato a caso, quindi non è che vada bene.
prova a rifarti l'esercizio da capo, pensando bene ad ogni passaggio, e giustificalo come si deve.
prova a rifarti l'esercizio da capo, pensando bene ad ogni passaggio, e giustificalo come si deve.
Ok, ho ripercorso i ragionamenti e ho capito perché bisognava mettere anche la C.E. $x<1$. Perché? Perché per risolvere la disequazione ho elevato i membri di una disequazione al quadrato, ma dovevo prima accertarmi che questi membri fossero entrambi positivi. per il secondo membro non c'era problema alcuno. Per il primo c'era una frazione, positiva se e solo se numeratore e denominatore sono concordi. Ma a numeratore c'è un radicale (positivo o =0) che esiste per le condizioni prima imposte ($0<=x<=2$). Quindi il denominatore dev'essere strettamente positivo: $x<1$. Right, black?
ma sì dai, hai fatto un bel ragionamento, bravo!
Ooo che felice, grazie black. Se andando avanti incontro qualche altra difficoltà, posto
Eccomi di ritorno .
$sqrt(|x-2|)-3/2>0$. Bah. Vista così ho pensato che fosse facile, l'ho fatta e sono abbastanza sicuro ma non ho i risultati. Non vi è alcuna condizione di esistenza.
$sqrt(|x-2|)>3/2$. Entrambi i membri sono positivi, quindi la disequazione è equivalente a $|x-2|>9/4 hArr 4|x-2|>9 hArr {(x>=2),(4x-8>9):} uuu {(x<2),(8-4x>9):} hArr {(x>=2),(x>17/4):} uuu {(x<2),(x<-1/4):} hArr x in (17/4; +oo) uuu x in (-oo; -1/4)$. Può andare?
.$sqrt(|x-2|)-3/2>0$. Bah. Vista così ho pensato che fosse facile, l'ho fatta e sono abbastanza sicuro ma non ho i risultati. Non vi è alcuna condizione di esistenza.
$sqrt(|x-2|)>3/2$. Entrambi i membri sono positivi, quindi la disequazione è equivalente a $|x-2|>9/4 hArr 4|x-2|>9 hArr {(x>=2),(4x-8>9):} uuu {(x<2),(8-4x>9):} hArr {(x>=2),(x>17/4):} uuu {(x<2),(x<-1/4):} hArr x in (17/4; +oo) uuu x in (-oo; -1/4)$. Può andare?
Può andare
Grazie
Ora ne svolgo un'altra, vediamo come va
Ora ne svolgo un'altra, vediamo come va
$(sqrt(x^2-1)-x+3)/(|2x-1|-5)<=0$
Domando subito: le condizioni di accettabilità che garantiscono la realtà della frazione sono $x!=3, x!=-2, (x<=-1 vv x>=1)$?
Cioè $(x<=-1 ^^^ x!=-2) vvv (x>=1 ^^^ x!=3)$?
Domando subito: le condizioni di accettabilità che garantiscono la realtà della frazione sono $x!=3, x!=-2, (x<=-1 vv x>=1)$?
Cioè $(x<=-1 ^^^ x!=-2) vvv (x>=1 ^^^ x!=3)$?
O.K.
Perfect. Provo a dare la soluzione: $x in (-2; 5/3) uuu x in (3; +oo)$.......giusto o c'è qualche errore/orrore??
Aaaah mi sono dimenticato di intersecare le soluzioni con le C.A., ora vedo e poi modifico!
Noooo niente ho sbagliato tutto avevo letto male la consegna!!!
Aaaah mi sono dimenticato di intersecare le soluzioni con le C.A., ora vedo e poi modifico!
Noooo niente ho sbagliato tutto avevo letto male la consegna!!!
Le soluzioni che ho trovato: $x<-2 vvv 5/3<=x<3$. So che sono sbagliate però, me lo sento
Sono giuste?
Nessuno può aiutarmi ?
?
up!
Io ho iniziato senza preoccuparmi dell'intera disequazione, ma risolvendo separatamente le disequazioni $N>=0$ e $D>0$. La prima richiede calcoli un po' lunghi, ma a me risulta verificata in tutto il suo campo di esistenza (in questo credo di differire da te); la seconda ha come soluzione $x< -2 uux>3$. Facendo poi il grafico dei segni e ricordando che x deve essere esterno all'intervallo (-1,1) trovo come soluzione $(-2
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