Alcuni quesiti per la maturita

[Piera4]

Visto che l'esame di maturità è ormai imminente,
propongo i seguenti quesiti:
1)Determinare l'equazione della retta tangente alla
funzione f(x)=integrale tra -1 e x di arctg(t^3)dt
nei suoi punti di ascissa (a) x=-1 ; (b) x=1.
2)Risolvere la disequazione ln(x)-(x^2)/2 < -1/2.
3)Calcolare integrale ln(sqrt[ln(x)]+1)^(1/x)dx.

UNA FUNZIONE INSIDIOSA

4)Tracciare il grafico della funzione
f(x)=cos[(x^2-3x+2)/(x^2-2x+2)]
SUGGERIMENTO: conviene prima studiare l'argomento.

Saluti
Alessandro

[fireball1]

Certo che sono piuttosto impegnativi eh...
Per quanto riguarda la funzione integrale,
detta G una primitiva di g(t) = arctg(t^3), possiamo
dire che la funzione integrale vale G(x) - G(-1);
la derivata di questa funzione sarà quindi g(x) = arctg(x^3)
che in x = -1 vale -pi/4 e in x = 1 vale pi/4.
Per calcolare poi le ordinate dei punti, sostituiamo
le loro ascisse nella funzione integrale f(x).
L'integrale tra -1 e -1 di g(t) è ovviamente 0,
quindi un punto è (-1 ; 0) e la retta ivi tangente
ha equazione: y = (-pi/4)(x + 1)
L'integrale tra -1 e 1 di g(t) è pure 0 perché
arctg(t^3) è una funzione dispari, cioè il suo
grafico è simmetrico rispetto all'origine. Infatti,
g(-t) = arctg((-t)^3) = arctg(-t^3) = -arctg(t^3) = -g(t)
L'integrale di una funzione dispari, definito
in un intervallo con estremi opposti, è sempre nullo.
Di conseguenza la retta tangente nel punto (1 ; 0)
sarà: y = (pi/4)(x - 1)

[fireball1]

[wedge]

2) ln(x) < (x^2)/2 -1/2
per via grafica si vede che le due funzioni sono tangenti in x=1, altrimenti f(x)=ln(x) è sempre minore di g(x)=(x^2)/2 -1/2
dunque la soluzione è: "per ogni x appartenente a R+ -{1}"

[wedge]

4) f(x)=cos[(x^2-3x+2)/(x^2-2x+2)]

studiamo g(x)=(x^2-3x+2)/(x^2-2x+2)
D: R
segno g(x)>0 per x<1 V x>2
intersezioni (1,0), (2,0), (0,1)
asintoto orizzontale y=1
funzione crescente in x<-SQRT2 V x>SQRT2
max (-SQRT2, (4+3SQRT2)/(4+2SQRT2) = 1,207)
min (SQRT2, (4-3SQRT2)/(4-2SQRT2) = -0,207)


passiamo a cos(g(x))
D: R

segno: -pigreco/2+kpigreco dunque f(x)>0 per ogni x appartenente a R (è evidente guardando max/min di g(x))

lim per x->inf = cos1

intersezioni (cos1, 0)

derivata prima: f'(x)=-sin(g(x))*g'(x)
sappiamo già che g'(x)>0 per x<-SQRT2 V x>SQRT2
sin(g(x))>0 se (0 + kpi)2
quindi f'(x)>0 per -SQRT2 f(x) crescente in -SQRT2 max (1,cos0=1) e (2,cos0=1)
min (-SQRT2,cos((4+3SQRT2)/(4+2SQRT2))) e (SQRT2, cos((4-3SQRT2)/(4-2SQRT2))

i flessi me li risparmio....
bella funzioncina comunque ))

[wedge]

posto il grafico fatto con Derive