Aiutooo problema matematica con sistemiiiiiii!!!!
Sia a>0.La somma dell'area di un rettangolo ABCD e dell'area del quadrato costruito sulla diagonale AC è 13 a^2. Aumentando di a le misure dei lati AB e CD e di 2a le misure dei lati BC e AD, si ottiene un nuovo rettangolo, la cui area supera di 9 a^2 l'area del rettangolo originario. Determina le misure dei lati di ABCD.
Risposte
Ciao!
Il problema non è difficile, ma molto laborioso. Quando dico molto laborioso intendo dire che provo a darti una mano nell'impostarlo ma non faccio una pagina di calcoli qui in LaTeX che finisce che divento matto. :lol
Scherzi a parte, poniamo
La diagonale (per il teorema di Pitagora) è
A questo punto hai un sistema a due equazioni in due incognite dato dalle relazioni che ti dà il problema.
Equaz. 1: area rettangolo + area quadrato (su diagonale) = 13 a^2.
Equaz. 2: area rettangolo "maggiorato" = 9 a^2 + area precedente.
Quindi le due equazioni del sistema sono
ovvero
da risolvere in x e y. Credo che l'idea di fondo sia questa - anche perché il sistema è in due equazioni e due incognite quindi è pur sempre ben posto - ma prevedo pagine di calcoli... :|
Il problema non è difficile, ma molto laborioso. Quando dico molto laborioso intendo dire che provo a darti una mano nell'impostarlo ma non faccio una pagina di calcoli qui in LaTeX che finisce che divento matto. :lol
Scherzi a parte, poniamo
[math]x,y[/math]
le due dimensioni del rettangolo, ovvero AB e BC.La diagonale (per il teorema di Pitagora) è
[math] \sqrt{x^2+y^2} [/math]
.A questo punto hai un sistema a due equazioni in due incognite dato dalle relazioni che ti dà il problema.
Equaz. 1: area rettangolo + area quadrato (su diagonale) = 13 a^2.
Equaz. 2: area rettangolo "maggiorato" = 9 a^2 + area precedente.
Quindi le due equazioni del sistema sono
[math]
\begin{cases} xy+(\sqrt{x^2+y^2})^2 = 13a^2 \\
(x+a)(y+2a) = 9a^2 + (13a^2-(\sqrt{x^2+y^2})^2) \end{cases}
[/math]
\begin{cases} xy+(\sqrt{x^2+y^2})^2 = 13a^2 \\
(x+a)(y+2a) = 9a^2 + (13a^2-(\sqrt{x^2+y^2})^2) \end{cases}
[/math]
ovvero
[math]
\begin{cases} xy+x^2+y^2 = 13a^2 \\
xy+ay+2ax+2a^2 = 9a^2 + 13a^2 - x^2-y^2 \end{cases}
[/math]
\begin{cases} xy+x^2+y^2 = 13a^2 \\
xy+ay+2ax+2a^2 = 9a^2 + 13a^2 - x^2-y^2 \end{cases}
[/math]
da risolvere in x e y. Credo che l'idea di fondo sia questa - anche perché il sistema è in due equazioni e due incognite quindi è pur sempre ben posto - ma prevedo pagine di calcoli... :|
Grazie mille ora lo risolvo
Sai una cosa, Aras?
Credevo fosse un calcolo molto complesso invece se do una sistemata alla seconda equazione del sistema ottengo
e se sostituisco la seconda equazione con la differenza membro a membro tra le due equazioni (cosa che si può fare sui sistemi) ottengo come sistema
ovvero
e se cambio segno ad ambo i membri della seconda perché così non si può vedere :lol ho, alla fine
posso ricavare la y e sostituirla sopra.
Credevo fosse un calcolo molto complesso invece se do una sistemata alla seconda equazione del sistema ottengo
[math]
\begin{cases} xy+x^2+y^2 = 13a^2 \\
xy+ay+2ax+x^2+y^2 = 20a^2\end{cases}
[/math]
\begin{cases} xy+x^2+y^2 = 13a^2 \\
xy+ay+2ax+x^2+y^2 = 20a^2\end{cases}
[/math]
e se sostituisco la seconda equazione con la differenza membro a membro tra le due equazioni (cosa che si può fare sui sistemi) ottengo come sistema
[math]
\begin{cases} xy+x^2+y^2 = 13a^2 \\
xy+x^2+y^2-(xy+ay+2ax+x^2+y^2)= 13a^2-20a^2\end{cases}
[/math]
\begin{cases} xy+x^2+y^2 = 13a^2 \\
xy+x^2+y^2-(xy+ay+2ax+x^2+y^2)= 13a^2-20a^2\end{cases}
[/math]
ovvero
[math]
\begin{cases} xy+x^2+y^2 = 13a^2 \\
-ay-2ax = -7a^2\end{cases}
[/math]
\begin{cases} xy+x^2+y^2 = 13a^2 \\
-ay-2ax = -7a^2\end{cases}
[/math]
e se cambio segno ad ambo i membri della seconda perché così non si può vedere :lol ho, alla fine
[math]
\begin{cases} xy+x^2+y^2 = 13a^2 \\
ay+2ax = 7a^2\end{cases}
[/math]
\begin{cases} xy+x^2+y^2 = 13a^2 \\
ay+2ax = 7a^2\end{cases}
[/math]
posso ricavare la y e sostituirla sopra.
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