AIUTO SU TRACCIA DELL'ESAME DI STATO

[BlackAngel]

Ciao raga devo svolgere questo esercizio, ma non riesco a capire come impostarlo... Potreste aiutarmi per favore??

Determina i valori di a,b,c per la funzione

[math]f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{x^2}[/math]

Sapendo che ha per asintoto orizzontale la retta y=2 e che nel punto p(1;-1) ha per tangente una retta che forma con gli assi cartesiani un triangolo la cui area è ugale a 9/4.(Tra i valori di c, considera solo i positivi).
b) Traccia il grafico probabile della funzione
c)Individua il punto con tangente orizzontale.

[BIT5]

Io lo imposterei cosi'

Sai che la funzione ha asintoto orizziontale y=2, ovvero che

[math] \lim_{x \to \infty} \frac{ax^2+bx+c}{x^2} = 2 [/math]

e quindi

[math] \lim_{x \to \infty} \frac{x^2(a+ \frac{b}{x}+ \frac{c}{x^2})}{x^2} = 2 [/math]

Sapendo che il rapporto

[math] \frac{n}{x^m} \to 0 [/math]

per

[math] x \to \infty [/math]

, semplificando

[math] x^2 [/math]

al numeratore e denominatore, avremo che a=2.

Le rette passanti per il punto (1,-1) sono le rette del fascio

[math] y-y_0=m(x-x_0) \to y+1=m(x-1) \to y=mx-m-1 [/math]

Qui mi fermo perche' mi serve sapere se avete fatto le derivate e il significato geometrico della derivata.

[BlackAngel]

Si li abbiamo fatti...
Ti volevo chiedere se era giusto procedere nel seguente modo:
Mi calcolo la derivata della funzione e mi determino m,sostituendo

[math]x_{p}[/math]

nella derivata. Poi ho sostituito m nell'equazione della tangente e ho cercato i punti in cui la tangente interseca l'asse x e l'asse y. Poi ho usato la formula dell'area moltiplicando questi 2 valori ottenuti,dividendoli per 2 ed uguagliandoli a 9/4.
Poi ho fatto 1 sistema con le 3 condizioni e non mi trovo con il risultato. Però vorrei sapere se è sbagliato il procedimento o meno per favore... Sto impazzendo!!:wall

[ciampax]

Allora, continuo da dove ha lasciato BIT. Abbiamo appurato che

[math]a=2[/math]

. Ora, la funzione deve passare per il punto

[math]P(1,-1)[/math]

, per cui

[math]-1=\frac{2\cdot 1^2+b\cdot 1+c}{1^2}\ \Rightarrow\ b+c+3=0[/math]

Consideriamo ora la retta tangente alla curva in P: essa ha equazione

[math]y+1=m(x-1)\ \Rightarrow\ y=mx-1-m[/math]

dove

[math]m=f'(1)[/math]

(che calcoleremo dopo). Questa retta interseca gli assi nei punti

[math]A(0,-1-m),\ B((1+m)/m,0)[/math]

. Essendo il triangolo

[math]AOB[/math]

rettangolo in O, ed essendo i suoi cateti pari a

[math]AO=|1+m|,\qquad OB=\frac{|1+m|}{|m|}[/math]

l'area di questo triangolo è

[math]\frac{9}{4}=\frac{(1+m)^2}{2|m|}[/math]

Ricordiamoci ora che

[math]m=f'(1)[/math]

. Ma allora, essendo

[math]f'(x)=\frac{(4x+b)x^2-(2x^2+bx+c)\cdot 2x}{x^4}=\frac{-bx-2c}{x^3}[/math]

si ha pure

[math]m=-b-2c[/math]

Andando a sostituire nell'equazione dell'area, troviamo

[math]9|b+2c|=2(1-b-2c)^2[/math]

Ma sappiamo pure che

[math]b=-c-3[/math]

e quindi

[math]9|c-3|=2(4-c)^2[/math]

da cui

[math]9|c-3|=32-16c+2c^2\ \Rightarrow\ 2c^2-16c-9|c-3|+32=0[/math]

Questa equazione si riduce alle due equazioni

[math]c\geq 3\qquad 2c^2-25c+59=0\qquad c_{1}=\frac{25-\sqrt{389}}{4},\ c_2=\frac{25-\sqrt{389}}{4}[/math]

[math]c

[BlackAngel]

Il testo dice di considerare i valori interi di c e nelle soluzioni c=1. Però anche 2 è un valore intero, perché lo esclude??

[ciampax]

Ah, i valori interi! Allora solo

[math]c_3=1[/math]

va bene, perché in realtà

[math]c_4=5/2[/math]

(ho sbagliato a scrivere e me ne sono accorto solo ora).

A questo punto avrai pure che

[math]b=-4[/math]

e quindi la funzione risulta

[math]f(x)=\frac{2x^2-4x+1}{x^2}=2-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}[/math]

Per i limiti

[math]\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=2,\qquad \lim_{x\to 0}f(x)=+\infty[/math]

e quindi

[math]y=0[/math]

è un asintoto verticale. Per la derivata prima avrai

[math]f'(x)=\frac{4}{x^2}-\frac{2}{x^3}=\frac{4x-2}{x^3}\geq 0[/math]

quando [math]x