AIUTO SU PROLEMA DI MASSIMO E MINIMO!!

[BlackAngel]

Ciao a tutti,
mi stò esercitando per martedì che ho il compito di matematica e ho provato a svolgere quest'esercizio:

Nel piano xOy sono datele due rette,r ed s, rispettivamente di equazioni

[math]y=4[/math]

e

[math]y=x[/math]

. Sia P un punto di r e sia H il piede della perpendicolare condotta da P alla retta s. Determinare il punto P per il quale è minima la somma

[math]PO^2+PH^2[/math]

.

Quindi

[math]P(x_{0};y_{0})[/math]

e per prima cosa ho calcolato la distanza PO:

[math]PO^2=(x_{0})^2+(4-x_{0})^2=(x_{0})^2 + 4[/math]

Ora però non riesco a calcolare la distanza PH solo in funzione di

[math]x_{0}[/math]

ma mi ritrovo anche l'incognita X... :!!! PER FAVORE AIUTATEMI!!

[BIT5]

Il punto P ha coordinate generiche (x_0,4) in quanto giace sulla retta y=4

Pertanto PO^2 sara' per il teorema di Pitagora:

[math] 4^2+x_0^2=16+x_0^2 [/math]

Il punto H, giace invece sulla retta y=x e la lunghezza di PH sara' sempre data dalla distanza del punto P dalla retta y=x.

La distanza punto retta si calcola come:

[math] d= \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} [/math]

in forma implicita la retta y=x sara'

[math] x-y=0 [/math]

E la distanza dal punto P alla retta sara' dunque:

[math] \bar{PH}=\frac{|x_0-4|}{\sqrt2} [/math]

E quindi

[math] \bar{PH}^2= \frac{(x_0-4)^2}{2} [/math]

Pertanto la relazione da studiare sara'

[math] f(x)=x^2+16+ \frac{x^2-8x+16}{2}= \frac{3x^2-8x+48}{2} [/math]

La derivata sara' dunque

[math] \frac{6x-8}{2} [/math]

Che e' maggiore di zero per

[math] x> \frac43 [/math]

Pertanto la funzione decresce fino a 4/3, cresce oltre ed ha un minimo in 4/3, ascissa del punto P di coordinate (4/3,4)