Aiuto sistemi logaritmi

[driver_458]

$x^y=y^x$
$3^x=9^y$
dopo aver esplicitato la seconda equazione,$3^x=3^(2y)$ e quindi x=2y, come si continua ?

$x^(x+y)=y^12$
$y^(x+y)=x^3$
con x>0,y>0
dovrei applicare i logaritmi ad entrambi i membri, ma di che base, decimali o altro?

$(y+2)^x=5$
$(y+2)^(1-x)=1/(y-2)$

anche qui che logarimi devo applicare?

[misanino]

Comincio a risponderti per il 1° esercizio.
Come hai detto tu $x=2y$.
Sostituisco nella prima equazione e ottengo $(2y)^y=y^(2y)$.
Applico ora da ambo le parti il logaritmo (in base qualunque, ad esempio base 10 0 base $e$) e ottengo $log((2y)^y)=log(y^(2y))$ e quindi per le proprietà dei logaritmi $ylog(2y)=2ylog(y)$.
Divido per $y$ (che è diverso da 0 poichè altrimenti anche x=0 e quindi avrei nella prima equazione $0^0$ che non ha significato) e ottengo $log(2y)=2log(y)=log(y^2)$ da cui ricavo $2y=y^2$ cioè $2=y$.
E quindi $x=2y=2*2=4$

Provo a fare gli altri e se hai problemi dimmelo

[misanino]

Il 3° esercizio è più facile.
Infatti puoi riscrivere $(y+2)^(1-x)=(y+2)(y+2)^(-x)=(y+2)((y+2)^x)^(-1)$
Ora sapendo dalla prima equazione che $(y+2)^x=5$ si otiene quindi $(y+2)^(1-x)=(y+2)5^(-1)=(y+2)/5$.
Perciò devi risolvere $(y+2)/5=1/(y-2)$ e ti esce $y=+-3$.
Ora sostituendo nella prima equazione ottieni:
$\{(y=3),((3+2)^x=5):}$ e hai la soluzione $\{(y=3),(x=1):}$
oppure
$\{(y=-3),((-3+2)^x=5):}$ che non ha soluzione.
Perciò la soluzione finale dell'esercizio è:
$\{(y=3),(x=1):}$

[giammaria2]

Secondo sistema: dalla seconda equazione ricavi $x=y^((x+y)/3)$ e lo sostituisci nella prima. Il resto non crea difficoltà.