Aiuto risoluzione sistema
Ciao a tutti, ho un esercizio con "spiegazione" qui sul libro che però non riesco a comprendere, qualcuno di voi può aiutarmi? Il libro dà sia una spiegazione geometrica che algebrica; a me interessa quella algebrica, se poi volete fare anche quella geometrica mi farete ancora più felice 
"Il sistema $ { ( x^2+y^2+a=0 ),( x-y=b ):} $ con a, b reali può avere soluzioni solo se a è negativo".
Potete dimostrarmelo, tenendo conto che la mia matematica è da itis? Vi prego in modo comprensibile.
Grazie in anticipo
"Il sistema $ { ( x^2+y^2+a=0 ),( x-y=b ):} $ con a, b reali può avere soluzioni solo se a è negativo".
Potete dimostrarmelo, tenendo conto che la mia matematica è da itis? Vi prego in modo comprensibile.
Grazie in anticipo
Risposte
"Snipy":
"Il sistema $ { ( x^2+y^2+a=0 ),( x-y=b ):} $ con a, b reali può avere soluzioni solo se a è negativo".
a me non sembra tanto vero... e se $a=b=0$?
a parte questo, per la risoluzione algebrica puoi proseguire così:
dalla seconda equazione ricavi o $x$ o $y$ che sostituisci nella prima, esegui l'elevamento al quadrato ed ottieni una equazione di secondo grado (o in $x$ o in $y$ a seconda della sostituzione fatta)
ti calcoli il discriminante ed imponi le condizioni che ti permettono di avere soluzioni reali
dalla seconda equazione ricavi o $x$ o $y$ che sostituisci nella prima, esegui l'elevamento al quadrato ed ottieni una equazione di secondo grado (o in $x$ o in $y$ a seconda della sostituzione fatta)
ti calcoli il discriminante ed imponi le condizioni che ti permettono di avere soluzioni reali
Verrebbe fuori una cosa tipo $ { ( 2x^2-2bx+b^2+a=0 ),( y=x-b ):} $ e per risolverla si farebbe $ (b pm sqrt((b)^2-2(b^2+a)) ) / (2) $ , solo che io non ho capito questo ultimo passaggio. So come si risolve una equazione di secondo grado con la formula di risoluzione, ma questa non ha proprio senso per me. Qui mette b invece di -b e il 4ac del denominatore è solo un 2. Perché??
Il libro dice inoltre che il sistema ammette soluzioni solo se $ a <= 0 $ ... perché?
Il libro dice inoltre che il sistema ammette soluzioni solo se $ a <= 0 $ ... perché?
EDIT: ha probabilmente usato una delle formule ridotte
concentrati comunque sul discriminante (quello sotto radice quadrata), che è $-2a-b^2$
ora sai che per avere due soluzioni reali il discriminante deve essere $\ge 0$, quindi devi risolvere la disequazione $-2a-b^2 \ge 0$ o equivalentemente $2a+b^2 \le 0$
ora riesci ad andare avanti?
RI-EDIT: attento a non confondere le $a$ e $b$ parametri del sistema con i coefficienti dell'equazione di secondo grado
...e poi il $4ac$ non è al denominatore...
concentrati comunque sul discriminante (quello sotto radice quadrata), che è $-2a-b^2$
ora sai che per avere due soluzioni reali il discriminante deve essere $\ge 0$, quindi devi risolvere la disequazione $-2a-b^2 \ge 0$ o equivalentemente $2a+b^2 \le 0$
ora riesci ad andare avanti?
RI-EDIT: attento a non confondere le $a$ e $b$ parametri del sistema con i coefficienti dell'equazione di secondo grado
...e poi il $4ac$ non è al denominatore...
Viene fuori $ a<=-b^2/2 $ ...e allora? Perché ha soluzioni solo se $ a $ è negativo? Forse perché una frazione negativa di un numero al quadrato diviso 2 è sempre un numero negativo, quindi di conseguenza a deve essere per forza negativo o al limite uguale a zero? Se è così, allora credo di avere capito, ma non capisco la formula risolutiva dell'equazione 
.
edit: hai ragione, il 4ac non è al denominatore, errore di distrazione, volevo dire $ 2a $
.edit: hai ragione, il 4ac non è al denominatore, errore di distrazione, volevo dire $ 2a $
detto un po' male e con qualche imprecisione, ma mi sembra che a grandi linee tu abbia capito...
la formula che ha usato è quella ridotta (la trovi ovunque, anche online)
la formula che ha usato è quella ridotta (la trovi ovunque, anche online)
io avrei detto:
siccome $b^2 \ge 0$ per ogni $b$, affinche sia $2a+b^2 \le 0$ deve necessariamente essere $a \le 0$ (oltre all'altra condizione scritta da te, che mi sembra più forte)
siccome $b^2 \ge 0$ per ogni $b$, affinche sia $2a+b^2 \le 0$ deve necessariamente essere $a \le 0$ (oltre all'altra condizione scritta da te, che mi sembra più forte)
qualche idea sulla soluzione geometrica?
suggerimento: guarda la prima equazione come quella di una circonferenza centrata nell'origine
suggerimento: guarda la prima equazione come quella di una circonferenza centrata nell'origine
"Snipy":
Il libro dice inoltre che il sistema ammette soluzioni solo se $ a <= 0 $ ... perché?
in realtà il sistema può avere soluzioni solo se $a \le 0$, ed ammette soluzioni solo se è soddisfatta l'altra condizione da te detta, cioè $a \le -b^2/2 $, condizione più forte
Finalmente ho capito, alla fine non era niente di così difficile la spiegazione geometrica c'è anche sul libro, ma di geometria analitica non ricordo niente, la rileggerò dopo averla ripassata. Ti ringrazio per l'aiuto, la matematica è proprio affascinante, torna sempre tutto 
la spiegazione geometrica c'è anche sul libro, ma di geometria analitica non ricordo niente, la rileggerò dopo averla ripassata. Ti ringrazio per l'aiuto, la matematica è proprio affascinante, torna sempre tutto
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