Aiuto rapporto incrementale
il testo dice: costruire il rapp incrementale delle seguenti funzioni e calcolare il valore della derivata nel punto indicato.
$y = 2x^4 - 2$ con x = -1
$y = x + cos(x)$ con x= 0
$y = 2x - sqrt(x)$ con x=1
i risultati sono: -8, 1, 3/2.
la formula da usare: $(f(x_0+h)-f(x_0))/(h) $
ma non ho capito come è stato fatto. grz
$y = 2x^4 - 2$ con x = -1
$y = x + cos(x)$ con x= 0
$y = 2x - sqrt(x)$ con x=1
i risultati sono: -8, 1, 3/2.
la formula da usare: $(f(x_0+h)-f(x_0))/(h) $
ma non ho capito come è stato fatto. grz
Risposte
Ciao
Provo a spiegarti il primo dei punti in modo che gli altri tu possa farli da solo
la tua funzione è $f(x) = 2x^4-2$
il rapporto incrementale, come tu hai scritto, è
$(f(x+h)-f(x))/h$
quindi non devi fare altro che sostituire $x+h$ al posto di $x$ alla sinistra del simbolo $-$ mentre alla destra lasci la funzione così com'è e ottieni
$(f(x+h)-f(x))/h = (2(x+h)^4-2-(2x^4-2))/h$
ora sviluppiamo il polinomio alla quarta che abbiamo al primo elemento e otteniamo
$(2(h^4+4h^3 +6h^2 x^2 +4hx^3 x^4)-2-2x^4+2)/h = (2h^4 + 8h^3 + 12h^2 x^2 +8 h x^3 +2x^4-2x^4)/h$
$= (2h^4 + 8h^3 + 12h^2 x^2 +8 h x^3)/h = 2h^3 + 8h^2 + 12h x^2 +8 x^3$
ecco il risultato del tuo rapporto incrementale.
Ora per trovare il valore della derivata calcoli :
[tex]\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} 2h^{3} + 8h^{2} + 12h x^{2} +8 x^{3} = 8 x^{3}[/tex]
che calcolata in $x=-1$ ti da $8 \cdot (-1)^3 = 8 \cdot (-1) = -8$
ora prova con gli altri
Provo a spiegarti il primo dei punti in modo che gli altri tu possa farli da solo
la tua funzione è $f(x) = 2x^4-2$
il rapporto incrementale, come tu hai scritto, è
$(f(x+h)-f(x))/h$
quindi non devi fare altro che sostituire $x+h$ al posto di $x$ alla sinistra del simbolo $-$ mentre alla destra lasci la funzione così com'è e ottieni
$(f(x+h)-f(x))/h = (2(x+h)^4-2-(2x^4-2))/h$
ora sviluppiamo il polinomio alla quarta che abbiamo al primo elemento e otteniamo
$(2(h^4+4h^3 +6h^2 x^2 +4hx^3 x^4)-2-2x^4+2)/h = (2h^4 + 8h^3 + 12h^2 x^2 +8 h x^3 +2x^4-2x^4)/h$
$= (2h^4 + 8h^3 + 12h^2 x^2 +8 h x^3)/h = 2h^3 + 8h^2 + 12h x^2 +8 x^3$
ecco il risultato del tuo rapporto incrementale.
Ora per trovare il valore della derivata calcoli :
[tex]\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} 2h^{3} + 8h^{2} + 12h x^{2} +8 x^{3} = 8 x^{3}[/tex]
che calcolata in $x=-1$ ti da $8 \cdot (-1)^3 = 8 \cdot (-1) = -8$
ora prova con gli altri
Summerwind78 ha prima fatto i calcoli per la generica $x$ e poi sostituito il valore assegnato. E' anche possibile (e consigliabile in casi dubbi) fare le due cose nell'ordine opposto e dire che, essendo $x=-1$, il rapporto incrementale è
$(f(-1+h)-f(-1))/h=([2(-1+h)^4-2]-[2(-1)^4+2])/h=...=-8+12h-8h^2+h^3$
Passando al limite per $h->0$ trovi $-8$
$(f(-1+h)-f(-1))/h=([2(-1+h)^4-2]-[2(-1)^4+2])/h=...=-8+12h-8h^2+h^3$
Passando al limite per $h->0$ trovi $-8$
@giammaria: ho voluto dare una spiegazione secondo me più generale, e poi calcolarlo nel punto richiesto.
Ed hai fatto bene, ma per gli studenti che stanno affrontando il problema per la prima volta è più facile capire quando si lavora con un'unica lettera.
Inoltre quella che io ho usato è la vera definizione di $f'(c)$ e la differenza fra i due procedimenti emerge nel caso di discontinuità eliminate. (Closmu, capirai questa parte solo fra qualche tempo; per ora è un discorso fra Summerwind78 e me).
Consideriamo la funzione
$f(x)={(sinx/x if x!=0),(1 if x=0):}$
che è continua in $x=0$. Lì è anche derivabile? Se deriviamo la prima formula abbiamo un $x^2$ a denominatore e quindi dovremmo dire che la derivata non esiste; la definizione dice però che è
$f'(0)=lim_(x->0)(f(h)-f(0))/h$
e, usando De l'Hospital, trovi che questo limite esiste e vale zero: la funzione è derivabile.
Inoltre quella che io ho usato è la vera definizione di $f'(c)$ e la differenza fra i due procedimenti emerge nel caso di discontinuità eliminate. (Closmu, capirai questa parte solo fra qualche tempo; per ora è un discorso fra Summerwind78 e me).
Consideriamo la funzione
$f(x)={(sinx/x if x!=0),(1 if x=0):}$
che è continua in $x=0$. Lì è anche derivabile? Se deriviamo la prima formula abbiamo un $x^2$ a denominatore e quindi dovremmo dire che la derivata non esiste; la definizione dice però che è
$f'(0)=lim_(x->0)(f(h)-f(0))/h$
e, usando De l'Hospital, trovi che questo limite esiste e vale zero: la funzione è derivabile.
per la seconda... (cos x + h) come si riscrive?
prendi la tua funzione originale e al posto di $x$ metti $x+h$
Sono riuscito a farli, grz.
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