Aiuto punti di discontinuità

[FallenAngel90]

Il mio prof ci ha dato un compito in classe e tra gli esercizi ce ne sono molti sul classificare e trovare i punti di discontinuità.

Il problema è che lui ha spiegato i questi punti ma non ci ha spiegato come facciamo a trovarceli.
Vi prego aiutatemi con questo esercizio almeno per capire il ragionamento da seguire

[math](x^2 + 2x + 4)/(x-2)[/math]

scusate ma non so ancora usare bene il math.....praticamente devo trovare i punti di discontinuità di questa funzione e classificarli.

Come faccio?

Edit: Vi prego il compito è domani questo è l'unico esercizio che ci è stato dato per esercitarci, tra l'altro senza la spiegazione di come si fa, infine i punti di discontinuità li ha spiegati venerdì

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[issima90]

devi semplicemente calcolar il campo d'esistenza...qui è ovviamente

[math]x\ne2[/math]

poi fai i limiti

[math]\lim_{x\rightarrow2^{+}}\frac{x^2+2x+4}{x-2}=\frac{(2^{+})^2+2*2^{+}+4}{2^{+}-2}=\frac{4^{+}+4^{+}+4}{0^{+}}=+\infty[/math]

[math]\lim_{x\rightarrow2^{-}}\frac{x^2+2x+4}{x-2}=\frac{(2^{-})^2+2*2^{-}+4}{2^{-}-2}=\frac{4^{-}+4^{-}+4}{0^{-}}=-\infty[/math]

la dscontiuità è perciò di seconsa specie..capito??

[FallenAngel90]

Si credo di si

Invece mi sapresti aiutare su quest'altro esercizio che come al solito del nostro prof noi non ne avevamo mai visto uno simile fino ad oggi che ce l'ha dato (su nostra richiesta tra l'altro perchè lui oggi voleva spiegare)

[math]f(x) =\begin{cases}-x^2-x+1 ,per x=1\\2x-b ,per 1

[issima90]

quidevi fare il limite dx e sx per cui la funzione è annullata:

[math]\lim_{x\rightarrow1{\pm}} -x^2-x+1[/math]

ok?? dovrebbe venir!!!

[ciampax]

No issima, questo esercizio non si risolve proprio così. Allora, il metodo è il seguente:

innanzitutto, verifica che i "pezzi" con cui è definita la tua funzione siano sempre continui all'interno degli intervalli in cui sono definiti. In questo caso, trattandosi di tre polinomi (che per definizione sono definiti su tutto l'asse reale), essi risultano continui (e addirittura derivabili).

A questo punto, devi considerare cosa accade quando passi da una funzione all'altra, cioè capire come si comportano le funzioni nei punti di separazione. Nel tuo caso questi punti sono

[math]x=1, x=3[/math]

Per dare la condizione di continuità, hai bisogno che i limiti destro e sinistro della funzione in questi punti siano finiti e coincidano. Detto questo, ecco cosa accade nel tuo caso:

[math]\lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^-}(-x^2-x+1)=-1[/math]

[math]\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^-}(2x-b)=-2-b[/math]

e quindi devi imporre la condizione

[math]-1=-2-b[/math]

da cui

[math]b=-1[/math]

.
Analogamente, usando il valore già determinato per b

[math]\lim_{x\rightarrow 3^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 3^-}(2x+1)=7[/math]

[math]\lim_{x\rightarrow 3^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 3^+}(-x^2+a)=-9+a[/math]

e quindi

[math]-9+a=7[/math]

da cui

[math]a=16[/math]

.

[issima90]

giusto...scusate!!!!grazie ciampax per la dritta!!!

[FallenAngel90]

Grazie ragazzi....credo di aver capito come si fanno

[issima90]

perfetto chiudo!