AIUTO! PROBLEMI DI GEOMETRIA (URGENTE)

[lucasfregola]

1. Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB e sia M il punto medio di AB. Sia H la proiezione di M sul lato AC. Dimostra che MH è congruente alla metà dell'altezza del triangolo relativa al lato AC.
2. Sia ABC un triangolo rettangolo di ipotenusa AB e siano M e N, rispettivamente, i punti medi di AC e BC. Detto P un punto di AB e Q il punto d'intersezione di MN e CP, dimostra che Q è il punto medio di CP. Indicate con H e K, rispettivamente, le proiezioni di P e Q su BC, dimostra che K è il punto medio di HC.
GRAZIE IN ANTICIPO ☺

[carlogiannini]

n 1
PRIMO METODO
Il triangolo CMA è metà del triangolo CBA.
Se guardi il triangolo isoscele "sdraiato" sulla base AC (figura 1) i due triangoli CBA e CMA hanno la stessa base AC e per altezza rispettivamente MH e BK (K proiezione di B su AC, BK = altezza di ABC relativa alla base AC).
Avendo la stessa base e area uno la metà dell'altro, allora l'altezza di CMA (MK) deve essere la metà dell'altezza di CBA (BK).
Questa dimostrazione a me piace molto perché è "intuitiva".
SECONDO METODO
Semplice similitudine tra i triangoli HAM e KAB.
HM è parallela a KB perché sono entrambe perpendicolari alla retta AC.
Quindi:
AM:AB=HM:KB

Aggiunto 21 minuti più tardi:

n 2
La retta MN è parallela alla base AB perché stacca sui lati CA e CB segmenti uguali.
Quindi semplice similitudine tra i triangoli MCQ e ACP (figura 2)
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Per dimostrare che K è il punto medio di CH basta dimostrare che CK è la metà di CH con una semplice similitudine tra i triangolo CKQ e CHP, ricordando che CQ è la metà di CP (figura 3)

Aggiunto 9 minuti più tardi:

FIGURA 1