Aiuto problema sul teorema di carnot...
Buonasera a tutti mi volevo allenare in vista del compito sulle relazioni della trigonometria con le figure svolgendo questo problema: Conoscere l'ampiezza degli angoli di un trapezio ABCD conoscendo i suoi lati.
Dopo aver espresso le equazioni con carnot: $DB^2=AD^2+AB^2-2AD*AB*cosx$ e $DB^2=DC^2+CB^2-2DC*CB*cosy$ avendo i coseni di due angoli e quindi di 2 incognite non so come andare avanti...idee?
Dopo aver espresso le equazioni con carnot: $DB^2=AD^2+AB^2-2AD*AB*cosx$ e $DB^2=DC^2+CB^2-2DC*CB*cosy$ avendo i coseni di due angoli e quindi di 2 incognite non so come andare avanti...idee?
Risposte
edit: Buonanotte, l'altezza non la conosci. Lasciamo il tempo di rieditare 
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Paola
.Paola
Scusa non ho capito la risposta 
comunque no l'altezza non la conosco, conosco solo i lati.
comunque no l'altezza non la conosco, conosco solo i lati.
Avevo scritto una soluzione ma nel momento in cui inviavo mi sono resa conto che tu conosci i lati ma non l'altezza!
Comunque non ho buone idee... hai provato ad usare il teorema della corda (magari introducendo una variabile in più) nel triangolo che hai crostruito tracciando DB? Magari col fatto che le basi sono parallele e DB fa da trasversale e quindi individua certi angoli uguali esce qualcosa...
Paola
Comunque non ho buone idee... hai provato ad usare il teorema della corda (magari introducendo una variabile in più) nel triangolo che hai crostruito tracciando DB? Magari col fatto che le basi sono parallele e DB fa da trasversale e quindi individua certi angoli uguali esce qualcosa...
Paola
mmh, non credo, gli esericizi della pagina sono solo sul teorema di carnot e dei seni...
E se aggiungi un'altra equazione utilizzando l'altra diagonale? Capisco bene che $x$ è l'angolo in $A$ e y quello in $C$?
Oltre a $AD^2+AB^2-2AD*AB*cosx =DC^2+CB^2-2DC*CB*cosy$ mi sembra che potresti scrivere anche $AD^2+DC^2+2AD*AC*cosx = AB^2+BC^2+2AB*BC*cosy$
Oltre a $AD^2+AB^2-2AD*AB*cosx =DC^2+CB^2-2DC*CB*cosy$ mi sembra che potresti scrivere anche $AD^2+DC^2+2AD*AC*cosx = AB^2+BC^2+2AB*BC*cosy$
"chiaraotta":
E se aggiungi un'altra equazione utilizzando l'altra diagonale? Capisco bene che $x$ è l'angolo in $A$ e y quello in $C$?
Oltre a $AD^2+AB^2-2AD*AB*cosx =DC^2+CB^2-2DC*CB*cosy$ mi sembra che potresti scrivere anche $AD^2+DC^2+2AD*AC*cosx = AB^2+BC^2+2AB*BC*cosy$
mmh potrebbe essere ma il triangolo non è isoscele quindi credo che alla fine verrebbe un coseno (diverso) per ogni equazione delle quattro...
Se ABCD sono presi circolarmente e $AB$ è la base maggiore e $CD$ quella minore, l'angolo in A è supplementare a quello in D e quello in B è supplementare a quello in C. Quindi $cosD = -cosA$ e $cosC = -cosB$
Aaaah ho capito ora provo...Grazie!
Scusate ora sono alle prese con un altro problema simile al precedente ma che si svolge su un triangolo scaleno e che non posso svolgere quindi come il problema precedente: In un triangolo $ABC$ $AB=13$ $BC=sqrt673 mentre la mediana relativa al lato AC è lunga $15$ cm. Determinare la lunghezza di AC e il coseno di BAC
Scusate ora sono alle prese con un altro problema simile al precedente ma che si svolge su un triangolo scaleno e che non posso svolgere quindi come il problema precedente: In un triangolo $ABC$ $AB=13$ $BC=sqrt673$ mentre la mediana relativa al lato AC è lunga $15$ cm. Determinare la lunghezza di AC e il coseno di BAC
Chiamiamo $MB$ la mediana.
Siano $x=AM, a=C\hat A B, b=C\hat M B$.
Le tre condizioni da porre potrebbero essere:
$15^2 = 13^2 +x^2 -26x cos a$ (teorema di Carnot sul triangolo ABM)
$673= x^2 + 15^2 -30x cos b$ (Carnot su MCB)
$(sen(\pi-b))/(13)=(sen a)/(15)$ (teorema dei seni su AMB)
Paola
Siano $x=AM, a=C\hat A B, b=C\hat M B$.
Le tre condizioni da porre potrebbero essere:
$15^2 = 13^2 +x^2 -26x cos a$ (teorema di Carnot sul triangolo ABM)
$673= x^2 + 15^2 -30x cos b$ (Carnot su MCB)
$(sen(\pi-b))/(13)=(sen a)/(15)$ (teorema dei seni su AMB)
Paola
Grazie mille...io lo avevo scartato il teorema dei seni me ne ero completamente dimenticato...ma scusa l'ignoranza ancora non ho capito del tutto: ma con il teorema dei seni come faccio ad arrivare ai coseni per Carnot?
E' un sistema a 3 eq. e 3 incognite .
Paola
.Paola
mmh scusa sempre se ti rompo, ma $sen(pi-b)$ equivale alla somma di due angoli ovvero l'angolo in A e quello in C? e qual è la relazione tra $senalpha$ $sen(pi-beta)$ e $cosalpha$ e $cosbeta$ ?
$sen(\pi-b)=senb$
Paola
Paola
Ma visto che non ci sono angoli complementari o supplementari come faccio a rendere $senb$ e $sena$ con $cosa$ e $cosb$ nelle equazioni di carnot?
Io sottrarrei le prime 2 condizioni in modo da avere un'eq. in $cosa, cosb$, poi la terza la eleverei alla seconda e userei la relazione fondamentale per avere i coseni invece dei seni.
Paola
Edit: in realtà rimane la x del doppio prodotto, ma non dovrebbe darti troppo fastidio, spero
Paola
Edit: in realtà rimane la x del doppio prodotto, ma non dovrebbe darti troppo fastidio, spero
ok grazie
Il problema si può risolvere anche così ....
Per brevità indico i lati del triangolo in questo modo: $AB = c$, $BC = a$, $AC = b$. Quindi $AM = MC = b/2$. Inoltre $MB = m$. Se si applica il teorema di Carnot al triangolo $AMB$ si può scrivere che:
1) $c^2 = (b/2)^2 + m^2 - 2 * b/2 * m * cos(AMB)$.
Se lo si applica al triangolo CMB si può scrivere che
2) $a^2 = (b/2)^2 + m^2 - 2 * b/2 * m * cos(CMB)$.
Gli angoli $AMB$ e $CMB$ sono supplementari e quindi hanno i coseni opposti: $-cos(CMB) = cos(AMB)$ e così la 2) diventa
3) $a^2 = (b/2)^2 + m^2 + 2 * b/2 * m * cos(AMB)$.
Se si sommano membro a membro la 1) e la 3) si ottiene
$c^2 + a^2 = 2 * (b/2)^2 + 2 * m^2$
e
4) $c^2 + a^2 = (b^2)/2 + 2 * m^2$
che è una relazione generale che lega le misure dei tre lati di un triangolo a quella delle mediane.
Nel caso specifico, dalla 4) si può ricavare
$b^2 = 2 * (c^2 + a^2 - 2 * m^2) = 2 * (13^2 + 673 - 2 * 15^2) = 2 * (169 + 673 - 450) = 784$
da cui
$AC = b = 28$.
Noti i tre lati del triangolo, applicando di nuovo il teorema di Carnot al triangolo $ABC$, si può calcolare $cos(BAC)$.
$a^2 = b^2 + c^2 - 2 * b * c * cos(BAC)$
da cui
$cos(BAC) = (b^2 + c^2 - a^2)/(2 * b * c) = (28^2 + 13^2 - 673)/(2 * 28 * 13) = (784 + 169 -673)/728 = 280/728 = 5/13$.
Per brevità indico i lati del triangolo in questo modo: $AB = c$, $BC = a$, $AC = b$. Quindi $AM = MC = b/2$. Inoltre $MB = m$. Se si applica il teorema di Carnot al triangolo $AMB$ si può scrivere che:
1) $c^2 = (b/2)^2 + m^2 - 2 * b/2 * m * cos(AMB)$.
Se lo si applica al triangolo CMB si può scrivere che
2) $a^2 = (b/2)^2 + m^2 - 2 * b/2 * m * cos(CMB)$.
Gli angoli $AMB$ e $CMB$ sono supplementari e quindi hanno i coseni opposti: $-cos(CMB) = cos(AMB)$ e così la 2) diventa
3) $a^2 = (b/2)^2 + m^2 + 2 * b/2 * m * cos(AMB)$.
Se si sommano membro a membro la 1) e la 3) si ottiene
$c^2 + a^2 = 2 * (b/2)^2 + 2 * m^2$
e
4) $c^2 + a^2 = (b^2)/2 + 2 * m^2$
che è una relazione generale che lega le misure dei tre lati di un triangolo a quella delle mediane.
Nel caso specifico, dalla 4) si può ricavare
$b^2 = 2 * (c^2 + a^2 - 2 * m^2) = 2 * (13^2 + 673 - 2 * 15^2) = 2 * (169 + 673 - 450) = 784$
da cui
$AC = b = 28$.
Noti i tre lati del triangolo, applicando di nuovo il teorema di Carnot al triangolo $ABC$, si può calcolare $cos(BAC)$.
$a^2 = b^2 + c^2 - 2 * b * c * cos(BAC)$
da cui
$cos(BAC) = (b^2 + c^2 - a^2)/(2 * b * c) = (28^2 + 13^2 - 673)/(2 * 28 * 13) = (784 + 169 -673)/728 = 280/728 = 5/13$.
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