Aiuto problema geometria??

[SuperAnty97]

In un trapezio isoscele la base minore è i 2/5 del lato obliquo, il perimetro è 80 cm e la somma della quarta parte della base maggiore con la metà della base minore è 12 cm. Verificare che il trapezio è circoscrittibile a una circonferenza e calcolare il diametro di tale circonferenza.

Aiutatemi!

[Max 2433/BO]

Iniziamo scrivendo le equazioni che ci descrivono il problema:

dette:

bm = base minore

bM = base maggiore

lo = lato obliquo

1) bm = (2/5)*lo

2) (1/4)*bM + (1/2)*bm = 12

3) 2*lo + bM + bm = 80

Sostituiamo il valore di bm della 1) nelle equazioni 2) e 3) e otteniamo:

2) (1/4)bM + (1/2)*(2/5)*lo = 12

(1/4)*bM + (1/5)*lo = 12

3) 2*lo + bM + (2/5)*lo = 80

Dalla 3) ricaviamo anche bM in funzione di lo:

3) 10*lo + 5*bM + 2*lo = 400

5bM = 400 - 12*lo

bM = (4/5)*(100 - 3*lo)

e sostituiamo questo valore di bM nella 2)

2) (1/4)*(4/5)*(100 - 3*lo) + (1/5)*lo = 12

(1/5)*(100 - 3*lo) + (1/5)*lo = 12

100 - 3*lo + lo = 60

-2*lo = -40

lo = 40/2 = 20 cm

A questo punto le misure degli altri lati sono immediate:

1) bm = (2/5)*lo = (2/5)*20 = 8 cm

3) bM = 80 - (2*lo + bm) = 80 - (2*20 + 8 ) = 32 cm

Riassumendo, le misure del nostro trapezio sono:

bm = 8 cm; bM = 32 cm; lo = 20 cm.

Per verificare se il trapezio isoscele è circoscrittibile ad una circonferenza, dobbiamo verificare che le bisettrici dei suoi angoli si incontrino nel medesimo punto detto incentro, che rappresenta il centro della circonferenza inscritta al trapezio.

Verifichiamo, quindi, se nei punti di tangenza della circonferenza h e k, i segmenti ok e oh sono identici.

Consideriamo i triangoli Ako e Aho, essi hanno:

Angolo h = Angolo k, retto in quanto punti di tangenza della circonferenza

Angolo kAo = Angolo hAo, in quanto Ao è bisettrice dell'angolo kAh (= Angolo BAD)

di conseguenza anche

Angolo koA = Angolo hoA

ma essendo Ao anche in comune ai due triangoli in questione, per il II° criterio di congruenza, questi sono congruenti e quindi i segmenti oh e ok sono uguali.

Verifichiamo, adesso, se nel terzo punto di tangenza della circonferenza j, il segmento oj = oh (= ok).

In questo caso consideriamo i triangoli joD e koD.

In questo, similarmente a quanto detto prima, caso avremo:

Angolo j = Angolo h, retto in quanto punti di tangenza della circonferenza

Angolo jDo = Angolo hDo, in quanto Do è bisettrice dell'angolo jDh (= Angolo CDA)

di conseguenza anche

Angolo joD = Angolo hoD

Quindi, sempre per lo stesso motivo detto in precedenza, i due triangoli joD e koD sono congruenti e i segmenti oj e oh, e di conseguenza ok, saranno uguali.

In conclusione essendo oh = oj = ok, dimostra che le bisettrici degli angoli BAD e ADC si incontrano in un unico punto.

Essendo poi, il trapezio isoscele, quindi con angolo BAD = angolo ABC e angolo ADC = angolo BCD, anche le bisettrici degli angoli ABC e BCD si incontreranno nel medesimo punto che rappresenterà l'incentro del trapezio, come volevasi dimostrare.

Per la misura del diametro del cerchi inscritto ci basta considerare il triangolo ABO che risulta essere un triangolo isoscele in quanto gli angoli ABo e BAo sono uguali (essendo, per costruzione, Ao e Bo bisettrici degli angoli ABD e BAD).

Per le proprietà dei triangoli isosceli ok risulterà essere altezza riferita alla base (AB), bisettrice dell'angolo AoB e mediana della base (AB) contemporaneamente.

Ma se ok è mediana di AB, che è la nostra base maggiore del trapezio, vuol dire che giace anche sulla mediana della base maggiore, che a sua volta coincide con la mediana della base minore del trapezio stesso, in quanto isoscele, su cui, a sua volta, può giacere anche l'altezza del trapezio stesso.

Quindi, essendo oj = ok e oj + ok = jk e jk = altezza trapezio, il diametro del nostro cerchio lo possiamo così calcolare:

An = (AB - DC)/2 = (bM - bm)/2 = (32 - 8 )/2 = 12 cm

Dn = jk = radice quadrata di (AD^2 - An^2) = radice quadrata di (20^2 - 12^2) = 16 cm

Il diametro del cerchio vale quindi 16 cm.

... ecco fatto!!!

:hi

Massimiliano