Aiuto problema di geometria con punto mobile

[asdrubalegirolamo]

Sui lati AB e CD di un quadrato ABCD di lato 4a, sono dati rispettivamente i punti H e K tali che BH = DK = a. Determinare sul segmento HK un punto P tale che AP² + PB² = 21/2a². Successivamente si determinino le aree dei triangoli PBC, PAB e la misura della distanza del punto P dalla diagonale AC. [Indicata con S la proiezione di P su AB, SP=a; 3a²; 2a²; 3√2/4 a²].

[mc2]

Sia L la proiezione di K sul lato AB.

AL=HB=DK=a , LH=4a-a-a=2a , KL=4a

Sia S la proiezione di P su AB

Poniamo SH=x

I triangoli KLH e PSH sono simili, quindi

[math]PS:KL=SH:LH[/math]

[math]PS=2SH=2x[/math]

SB=x+a

AS=3a-x

[math]AP^2=AS^2+PS^2\\
PB^2=SB^2+PS^2[/math]

sostituisci le espressioni di x trovate e risolvi. Troverai x=a/2

L'area di PBC e` base*altezza/2, la base e` BC=4a, l'altezza e` uguale a SB...

Area di PAB=AB*PS/2

Il quadrilatero ABCP e` la somma dei triangoli APB+PBC, ma anche la differenza dei triangoli ABC-APC. E` facile calcolare l'area del triangolo APC

[math]S_{ABC}-S_{APC}=S_{ABP}+S_{PBC}\\
S_{APC}=S_{ABC}-S_{ABP}-S_{PBC}
[/math]

Sia Q la proiezione di P sulla diagonale AC (PQ e` la distanza richiesta dal problema)

L'area di APC e` anche

[math]S_{APC}=\frac{1}{2}AC\cdot PQ[/math]

quindi puoi calcolare PQ