Aiuto per un calcolo di un limite
Ciao, mi aiutate con il seguente limite?
$lim_(x->0^-)(x/sqrt(1-cos x))$
Ricordando il limite notevole $lim_(x->0)((1-cos x)/x^2)=1/2$ 'intuisco' che il calcolo dovrebbe essere $-sqrt(2)$ ma non riesco a fare i passaggi precisi.
Avevo pensato di iniziare con
$lim_(x->0^-)x/sqrt(1-cos x)=lim_(x->0^-)sqrt((x/sqrt(1-cos x))^2)$ e procedere portando fuori dal segno di limite la radice.
Il problema è che l'argomento del quadrato è negativo (x tende a zero da sinistra per qui il numeratore è negativo mentre il denominatore è positivo)
e quindi è $sqrt((x/sqrt(1-cos x))^2)!=x/sqrt(1-cos x)$. Avevo pensato di assumere sempre negativo il segno della funzione, estrarlo e metterlo davanti alla radice.
Una cosa del tipo:
$lim_(x->0^-)x/sqrt(1-cos x)=lim_(x->0^-)-sqrt((x/sqrt(1-cos x))^2)$
Ma non so se è corretto.
Grazie,
Guglielmo
$lim_(x->0^-)(x/sqrt(1-cos x))$
Ricordando il limite notevole $lim_(x->0)((1-cos x)/x^2)=1/2$ 'intuisco' che il calcolo dovrebbe essere $-sqrt(2)$ ma non riesco a fare i passaggi precisi.
Avevo pensato di iniziare con
$lim_(x->0^-)x/sqrt(1-cos x)=lim_(x->0^-)sqrt((x/sqrt(1-cos x))^2)$ e procedere portando fuori dal segno di limite la radice.
Il problema è che l'argomento del quadrato è negativo (x tende a zero da sinistra per qui il numeratore è negativo mentre il denominatore è positivo)
e quindi è $sqrt((x/sqrt(1-cos x))^2)!=x/sqrt(1-cos x)$. Avevo pensato di assumere sempre negativo il segno della funzione, estrarlo e metterlo davanti alla radice.
Una cosa del tipo:
$lim_(x->0^-)x/sqrt(1-cos x)=lim_(x->0^-)-sqrt((x/sqrt(1-cos x))^2)$
Ma non so se è corretto.
Grazie,
Guglielmo
Risposte
L'ultimo passaggio che hai scritto è "quasi corretto". Il limite che devi calcolare è uguale al limite per x che tende a 0 da sinistra di:
- radice quadrata di (x^2/(1-cosx))
Una giustificazione può essere la seguente:
1. ricorda che in generale: radice quadrata di x^2 = |x|
2. poichè x tende a 0 da sinistra, possiamo supporre x<0, quindi |x|=-x, ovvero , per x<0, radice quadrata di x^2 = -x e quindi x = - radice quadrata di x^2.
3. Per x<0, puoi quindi sostituire nella funzione di cui devi calcolare il limite -radice quadrata di x^2 al posto di x, e poi procedere osservando che il quoziente delle due radici è la radice del quoziente.
Il risultato del limite è -radice di 2, come giustamente avevi supposto.
Nota che il limite per x che tende a 0 da destra è invece + radice di 2.
- radice quadrata di (x^2/(1-cosx))
Una giustificazione può essere la seguente:
1. ricorda che in generale: radice quadrata di x^2 = |x|
2. poichè x tende a 0 da sinistra, possiamo supporre x<0, quindi |x|=-x, ovvero , per x<0, radice quadrata di x^2 = -x e quindi x = - radice quadrata di x^2.
3. Per x<0, puoi quindi sostituire nella funzione di cui devi calcolare il limite -radice quadrata di x^2 al posto di x, e poi procedere osservando che il quoziente delle due radici è la radice del quoziente.
Il risultato del limite è -radice di 2, come giustamente avevi supposto.
Nota che il limite per x che tende a 0 da destra è invece + radice di 2.
Grazie della risposta sylowww, ora ho le idee più chiare 
.
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Secondo me un metodo più elegante sarebbe moltiplicare numeratore e denominatore per $sqrt(1+cosx)$,
facendo comparire così $senx$ al denominatore
e lo risolvi facilmente.
facendo comparire così $senx$ al denominatore
e lo risolvi facilmente.
In effetti è più elegante. ma la soluzione mi viene sbagliata. Da qualche parte mi perdo un segno 
...
$lim_(x->0^-)(x*sqrt(1+cos x))/sqrt(1-cos^2 x)=lim_(x->0^-)(x/(sen x)*sqrt(1+cos x))$
Il primo dei fattori tende ad 1 mentre il secondo a $sqrt(2)$. Il limite risulta quindi $sqrt(2)$ mentre il risultato corretto è $-sqrt(2)$.
Dove sbaglio?
...$lim_(x->0^-)(x*sqrt(1+cos x))/sqrt(1-cos^2 x)=lim_(x->0^-)(x/(sen x)*sqrt(1+cos x))$
Il primo dei fattori tende ad 1 mentre il secondo a $sqrt(2)$. Il limite risulta quindi $sqrt(2)$ mentre il risultato corretto è $-sqrt(2)$.
Dove sbaglio?
$sqrt(sin^2x)$ non è $sinx$ ma $|sinx|$, da cui il tuo $x/|sinx| = -1$ (in quanto tendendo a $0^-$ il numeratore è negativo e il denominatore positivo)
Giusto, era il punto numero 1 della risposta di sylowww 
Grazie a entrambi.
Grazie a entrambi.
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