Aiuto per problema di Geometria Euclidea
Ciao a tutti!!
Eccomi di nuovo per un altro avvincente problema (stavolta di geometria euclidea) che mi sta dannando l'anima.....
E' dato un quadrato ABCD di lato 3b; sia M il punto del lato DC distante b dal vertice D e sia N il punto del lato CB distante 2b dal vertice C. Preso un punto P, interno al segmento MN, determinare la distanza di P dai lati AD e AB in modo che sia uguale a $sqrt(8/5)$ il rapporto tra i segmenti AP e BP.
Considerato che le distanze sono le proiezioni di P sui lati AD e AB del quadrato (che ho chiamato rispettivamente H e K), ho determinato tre triangoli rettangoli (due congruenti ed uno, mi sembra, simile ai congruenti). Ho provato ad applicare Euclide, ed ottengo che PH/PK = $sqrt(8/5)$. Poi ho provato ad applicare Pitagora e qui.... il buio.... Spero che qualcuno abbia nuovamente il buon cuore di rispondermi, perché il giorno del concorso si avvicina a me come un buco nero..... Grazie in anticipo!!!!!!!!
Eccomi di nuovo per un altro avvincente problema (stavolta di geometria euclidea) che mi sta dannando l'anima.....
E' dato un quadrato ABCD di lato 3b; sia M il punto del lato DC distante b dal vertice D e sia N il punto del lato CB distante 2b dal vertice C. Preso un punto P, interno al segmento MN, determinare la distanza di P dai lati AD e AB in modo che sia uguale a $sqrt(8/5)$ il rapporto tra i segmenti AP e BP.
Considerato che le distanze sono le proiezioni di P sui lati AD e AB del quadrato (che ho chiamato rispettivamente H e K), ho determinato tre triangoli rettangoli (due congruenti ed uno, mi sembra, simile ai congruenti). Ho provato ad applicare Euclide, ed ottengo che PH/PK = $sqrt(8/5)$. Poi ho provato ad applicare Pitagora e qui.... il buio.... Spero che qualcuno abbia nuovamente il buon cuore di rispondermi, perché il giorno del concorso si avvicina a me come un buco nero..... Grazie in anticipo!!!!!!!!
Risposte
Se ho capito bene il problema, la situazione è quella della figura. Allora il problema si può risolvere anche introducendo un sistema di coordinate cartesiane.
I punti fissi hanno coordinate $A(0b,0b), B(3b, 0b), C(3b,3b), D(0b, 3b), M(b, 3b), N(3b, b)$.
Poichè il segmento $MN$ ha equazione $y=-x+4b$, con $b<= x <= 3b$, allora il punto da cercare è $P(x, y)=(x,-x+4b)$.
Le lunghezze dei segmenti di cui si conosce il rapporto, in funzione di $x$, sono
$bar(AP)=sqrt((x-0)^2+(y-0)^2)=sqrt(x^2+(-x+4b)^2)=sqrt(x^2+x^2-8bx+16b^2)=sqrt(2x^2-8bx+16b^2)$,
$bar(BP)=sqrt((3b-x)^2+(y-0)^2)=sqrt(9b^2-6bx+x^2+(-x+4b)^2)=$
$sqrt(9b^2-6bx+x^2+x^2-8bx+16b^2)=sqrt(2x^2-14bx+25b^2)$.
L'equazione da risolvere è $bar(AP)/bar(BP)=sqrt(8/5)$, cioè $bar(AP)^2/bar(BP)^2=8/5$ e quindi $5bar(AP)^2=8bar(BP)^2$, con $b<= x <= 3b$.
Sostituendo le espressioni ricavate precedentemente si trova
$5(2x^2-8bx+16b^2)=8(2x^2-14bx+25b^2)->6x^2-72bx+120b^2=0->x^2-12bx+20b^2=0->$
$(x-2b)(x-10b)=0$.
Le soluzioni sono
$x_1=2b$ che è accettabile e $x_2=10b$ che non è accettabile ($>3b$).
Il corrispondente valore di $y$ è $y_1=-x_1+4b=-2b+4b=2b$.
Il punto $P$ deve quindi stare nel punto medio di $MN$. In effetti in quella posizione $bar(AP)=sqrt((2b)^2+(2b)^2)=bsqrt(8)$ e $bar(BP)=sqrt((3b-2b)^2+(2b)^2)=bsqrt(5)$, per cui $bar(AP)/bar(BP)=sqrt(8/5)$.
I punti fissi hanno coordinate $A(0b,0b), B(3b, 0b), C(3b,3b), D(0b, 3b), M(b, 3b), N(3b, b)$.
Poichè il segmento $MN$ ha equazione $y=-x+4b$, con $b<= x <= 3b$, allora il punto da cercare è $P(x, y)=(x,-x+4b)$.
Le lunghezze dei segmenti di cui si conosce il rapporto, in funzione di $x$, sono
$bar(AP)=sqrt((x-0)^2+(y-0)^2)=sqrt(x^2+(-x+4b)^2)=sqrt(x^2+x^2-8bx+16b^2)=sqrt(2x^2-8bx+16b^2)$,
$bar(BP)=sqrt((3b-x)^2+(y-0)^2)=sqrt(9b^2-6bx+x^2+(-x+4b)^2)=$
$sqrt(9b^2-6bx+x^2+x^2-8bx+16b^2)=sqrt(2x^2-14bx+25b^2)$.
L'equazione da risolvere è $bar(AP)/bar(BP)=sqrt(8/5)$, cioè $bar(AP)^2/bar(BP)^2=8/5$ e quindi $5bar(AP)^2=8bar(BP)^2$, con $b<= x <= 3b$.
Sostituendo le espressioni ricavate precedentemente si trova
$5(2x^2-8bx+16b^2)=8(2x^2-14bx+25b^2)->6x^2-72bx+120b^2=0->x^2-12bx+20b^2=0->$
$(x-2b)(x-10b)=0$.
Le soluzioni sono
$x_1=2b$ che è accettabile e $x_2=10b$ che non è accettabile ($>3b$).
Il corrispondente valore di $y$ è $y_1=-x_1+4b=-2b+4b=2b$.
Il punto $P$ deve quindi stare nel punto medio di $MN$. In effetti in quella posizione $bar(AP)=sqrt((2b)^2+(2b)^2)=bsqrt(8)$ e $bar(BP)=sqrt((3b-2b)^2+(2b)^2)=bsqrt(5)$, per cui $bar(AP)/bar(BP)=sqrt(8/5)$.
Grazie per la risposta Chiaraotta, ma purtroppo stavolta non posso considerarla valida, per quanto perfetta.... Vedi, anch'io avrei utilizzato la geometria Cartesiana, ma purtroppo il concorso mi obbliga a risolvere il problema esclusivamente con Euclide, Pitagora, e teoremi annessi... Insomma la geometria nel piano Euclideo. Comunque il disegno è corretto, mancano solo le proiezioni sui lati AD e AB del punto P, che sono ciò che devo trovare.
Disegnando le proiezioni determino tre triangoli rettangoli (due sicuramente congruenti - APH e APK -, uno simile agli altri due - KPB), e su di essi devo concentrare le mie congetture. Il fatto che MN crei un triangolo isoscele con le parti di lato coinvolte mi dà degli spunti, ma non sono ancora riuscito a capire in cosa possono essermi utili.
C'è da aggiungere che non ho considerato l'idea di partire proprio dal postulato conclusivo... Potrebbe essere un'idea, considerato che PB e PA sono le ipotenuse di due triangoli rettangoli che hanno per cateti le distanze PH e PK (o di una e la differenza di un lato e l'altra).
Ovviamente il triangolo APB non è isoscele.
Aggiungo che tra le mie congetture ho ipotizzato anche che P sia il punto medio di MN, ed effettivamente tutto torna. Il problema è arrivarci solo con Euclide e Pitagora...
Disegnando le proiezioni determino tre triangoli rettangoli (due sicuramente congruenti - APH e APK -, uno simile agli altri due - KPB), e su di essi devo concentrare le mie congetture. Il fatto che MN crei un triangolo isoscele con le parti di lato coinvolte mi dà degli spunti, ma non sono ancora riuscito a capire in cosa possono essermi utili.
C'è da aggiungere che non ho considerato l'idea di partire proprio dal postulato conclusivo... Potrebbe essere un'idea, considerato che PB e PA sono le ipotenuse di due triangoli rettangoli che hanno per cateti le distanze PH e PK (o di una e la differenza di un lato e l'altra).
Ovviamente il triangolo APB non è isoscele.
Aggiungo che tra le mie congetture ho ipotizzato anche che P sia il punto medio di MN, ed effettivamente tutto torna. Il problema è arrivarci solo con Euclide e Pitagora...
Se non ti persuade l'uso delle coordinate $x$ e $y$ di $P$, basta che sostituisci $bar(PH)$ a $x$ è $bar(PK)$ a $y$.
Queste lunghezze non sono indipendenti, perché, se prolunghi $MN$ fino a intersecare la retta $AB$ in $E$, vedi che $bar(AE)=4b$ e $bar(PK)=bar(KE)=bar(AE)-bar(AK)=bar(AE)-bar(PH)=4b -bar(PH)$.
A questo punto puoi riscrivere che
$bar(AP)=sqrt(bar(PH)^2+bar(PK)^2)=sqrt(2*bar(PH)^2-8b*bar(PH)+16b^2)$,
$bar(BP)=sqrt(bar(KB)^2+bar(PK)^2)=sqrt((bar(AB)-bar(AK))^2+(4b -bar(PH))^2)=$
$sqrt((3b-bar(PH))^2+(4b -bar(PH))^2)=sqrt(2*bar(PH)^2-14b*bar(PH)+25b^2)$.
L'equazione è la stessa di prima $5bar(AP)^2=8bar(BP)^2$, solo che ora $x$ si chiama $bar(PH)$. La soluzione è $bar(PH)=2b=bar(PK)$.
Queste lunghezze non sono indipendenti, perché, se prolunghi $MN$ fino a intersecare la retta $AB$ in $E$, vedi che $bar(AE)=4b$ e $bar(PK)=bar(KE)=bar(AE)-bar(AK)=bar(AE)-bar(PH)=4b -bar(PH)$.
A questo punto puoi riscrivere che
$bar(AP)=sqrt(bar(PH)^2+bar(PK)^2)=sqrt(2*bar(PH)^2-8b*bar(PH)+16b^2)$,
$bar(BP)=sqrt(bar(KB)^2+bar(PK)^2)=sqrt((bar(AB)-bar(AK))^2+(4b -bar(PH))^2)=$
$sqrt((3b-bar(PH))^2+(4b -bar(PH))^2)=sqrt(2*bar(PH)^2-14b*bar(PH)+25b^2)$.
L'equazione è la stessa di prima $5bar(AP)^2=8bar(BP)^2$, solo che ora $x$ si chiama $bar(PH)$. La soluzione è $bar(PH)=2b=bar(PK)$.
E' perfetto, grazie!! Ancora una volta mi hai stupito. Al prossimo problema!! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo