Aiuto nelle dimostrazioni di geometria (689292)

[Gattobianco123]

2. Se due triangoli rettangoli hanno ordinatamente uguali l'altezza relativa all'ipotenusa e la bisettrice dell'angolo retto, essi sitno uguali. 3. Se due angoli acuti anno i lati ordinatamente perpendicolari, essi sono uguali 4. In un triangolo ABC il punto medio M del lato BC è equidistante dai tre vertici. Dimostrare che il triangolo dato è rettangolo in A 5. Dimostrare che in un triangolo acutangolo, l'angolo ottuso formato da due altezze è uguale all'angolo esterno adiacente al terzo angolo.

[lorg]

Ciao, vedi allegato. L.

[mc2]

2. Se due triangoli rettangoli hanno ordinatamente uguali l'altezza relativa all'ipotenusa e la bisettrice dell'angolo retto, essi sitno uguali.

Siano ABC e A'B'C' i due triangoli rettangoli in A e A' rispettivamente.

Siano AH e A'H' le altezze relative all'ipotenusa

Siano AD e A'D' le bisettrici dell'angolo retto.


I triangoli AHD e A'H'D' sono rettangoli ed hanno le ipotenuse AD e A'D' uguali per ipotesi, i cateti AH e A'H' uguali per ipotesi.

Quindi i due triangoli AHD e A'H'D' sono uguali, come conseguenza gli angoli

[math]H\hat{A}D[/math]

e

[math]H'\hat{A'}D'[/math]

sono uguali tra loro.


Per ipotesi tutti gli angoli

[math]B\hat{A}D=C\hat{A}D=B'\hat{A'}D'=C'\hat{A'}D'=\frac{\pi}{4}[/math]

perche` meta` di un angolo retto.

Quindi

[math]B\hat{A}H=B'\hat{A'}H'[/math]

e

[math]C\hat{A}H=C'\hat{A'}H'[/math]

perche` somme o differenze di angoli uguali


I due triangoli AHB e A'H'B' sono rettangoli ed hanno uguali i cateti AH e A'H' (per ipotesi) e gli angoli

[math]B\hat{A}H=B'\hat{A'}H'[/math]

(perche' appena dimostrato) dunque sono uguali. Di conseguenza AB=A'B'.

Analogamente si dimostra che i triangoli rettangoli AHC e A'H'C' sono uguali e anche le loro ipotenuse AC=A'C'.


I due triangoli rettangoli ABC e A'B'C' hanno i cateti uguali dunque sono uguali.

3. Se due angoli acuti anno i lati ordinatamente perpendicolari, essi sono uguali

Siano

[math]A\hat{O}B[/math]

e

[math]A'\hat{O'}B'[/math]

i due angoli acuti, con il vertice O in comune. Gli angoli sono disegnati in modo che B sia interno all'angolo retto AOA'.


Per ipotesi:

[math]A'\hat{O}A=B'\hat{O}B=\frac{\pi}{2}[/math]

Si ha

[math]A\hat{O}B=A'\hat{O}A-A'\hat{O}B=\frac{\pi}{2}-A'\hat{O}B[/math]

e

[math]B'\hat{O}A'=B'\hat{O}B-A'\hat{O}B=\frac{\pi}{2}-A'\hat{O}B[/math]

quindi

[math]A\hat{O}B=A'\hat{O'}B'[/math]

perche` differenze di angoli uguali

4. In un triangolo ABC il punto medio M del lato BC è equidistante dai tre vertici. Dimostrare che il triangolo dato è rettangolo in A

Poiche` MA=MB=MC, la circonferenza di centro M e raggio MB passa per i tre vertici ABC.

BC e` un diametro di questa circonferenza ed il triangolo ABC risulta cosi` inscritto in una semicirconferenza.

L'angolo in A e` un angolo al vertice che insiste sullo stesso arco dell'angolo piatto

[math]B\hat{M}C[/math]

, quindi

[math]B\hat{A}C=\frac{1}{2}B\hat{M}C=\frac{\pi}{2}[/math]

5. Dimostrare che in un triangolo acutangolo, l'angolo ottuso formato da due altezze è uguale all'angolo esterno adiacente al terzo angolo.

Aggiunto 6 minuti più tardi:

Sia ABC il triangolo acutangolo.

Siano BK e AH due sue altezze, che si incontrano nel punto E

Sia F un punto preso sul prolungamento del lato BC (dalla parte di C).


Gli angoli BEH e AEK sono uguali perche` opposti al vertice.

I triangoli AEK e AHC sono rettangoli ed hanno in comune l'angolo acuto HAC, quindi sono simili. Di conseguenza ACH=AEK


Abbiamo quindi l'uguaglianza tra angoli: BEH=ACH

L'angolo HEK e` l'angolo ottuso formato dalle altezze BK ed AH ed e` supplementare di BEH

L'angolo ACF e` supplementare di ACH

Quindi ACF=HEK perche' supplementari di angoli uguali