Aiuto matematico help me

[Milenacapotondi]

chi mi dice le risposte a qst domande di un quiz di matematica e mi spiega i processi per mezzo del quale sono le risposte giuste vi prego è urgente mi serve x giovediii......grazie in anticipo

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[ciampax]

Allora, il primo suppongo sia

[math]\lim_{x\to 0^+}\frac{\sqrt{2+x}-1}{x}[/math]

Se sostituisci il valore 0 alla x, otterrai al numeratore

[math]\sqrt{2}-1}[/math]

che è una quantità positiva, mentre a denominatore

[math]0^+[/math]

: il loro rapporto è una quantità positiva e tende a

[math]+\infty[/math]

, per cui la risposta giusta è la c).

Il secondo è simile: in questo caso al denominatore hai

[math]0^-[/math]

che è una quantità negativa. Per cui il rapporto è negativo e tende a

[math]-\infty[/math]

. La risposta è la d).

Per definizione il rapporto incrementale in un punto

[math]x_0[/math]

della funzione

[math]f(x)[/math]

con incremento

[math]h[/math]

è la quantità

[math]\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}[/math]

In questo caso

[math]f(x)=2x^3-4,\ x_0=0,\ h=-1[/math]

da cui

[math]\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{f(-1)-f(0)}{-1}=-[2\cdot(-1)^3-4-(2\cdot 0^3-4)]=-[-2-4+4]=2[/math]

La risposta è la c).

Enunciamo il teorema di Rolle:
sia

[math]f : [a,b]\to\mathbb{R}[/math]

continua e derivabile su

[math](a,b)[/math]

e tale che

[math]f(a)=f(b)=0[/math]

. Allora esiste

[math]c\in(a,b)[/math]

tale che

[math]f'(c)=0[/math]

Ora la tua funzione, essendo un polinomio, è sempre continua e derivabile dappertutto. Dobbiamo solo vedere dove si annulla agli estremi dell'intervallo. Se sostituiamo si ha

[math]f(0)=1,\quad f(1)=2,\quad f(-1)=0,\quad f(2)=11,\quad f(-2)=-1,[/math]

per cui nessuno degli intervalli va bene. Ora, secondo me hai sbagliato a scrivere la funzione: credo che quella giusta fosse

[math]f(x)=x^3-x^2-x+1[/math]

la quale si annulla per

[math]x=\pm 1[/math]

e quindi la risposta esatta è la d).

Il teorema di de l'Hopital afferma che, sotto opportune condizioni, si ha

[math]\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}[/math]

nel tuo caso

[math]\lim_{x\to 0^+}\frac{\cos x-1}{\sin x-x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{-\sin x}{\cos x-1}=\lim_{x\to 0^+}\frac{-\cos x}{-\sin x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{\tan x}=+\infty[/math]

la risposta esatta è la d).

Per l'ultima domanda ti rispondo più tardi che devo andare.

Aggiunto 2 ore 27 minuti più tardi:

Per l'ultima domanda, basta calcolare il limite (visto che è sempre lo stesso). Si ha, essendo

[math]-1\leq\cos x\leq 1[/math]

che

[math]1\leq 2+\cos x\leq 3[/math]

e quindi, essendo una radice quadrata sempre positiva,

[math]\frac{1}{\sqrt{3x-2}}\leq\frac{2+\cos x}{\sqrt{3x-2}}\leq\frac{3}{\sqrt{3x-2}}[/math]

Poiché

[math]\lim_{x\to+\infty}\frac{c}{\sqrt{3x-2}}=0[/math]

per qualsiasi

[math]c\in\mathbb{R}[/math]

segue che

[math]\frac{1}{\sqrt{3x-2}}\leq\frac{2+\cos x}{\sqrt{3x-2}}\leq\frac{3}{\sqrt{3x-2}}\to0\leq\leq\frac{2+\cos x}{\sqrt{3x-2}}\leq0[/math]

e quindi il limite cercato è zero. La risposta corretta è la b).