Aiuto limiti

[Lucked]

Ciao a tutti, mi aiutate a fare questi, che assolutamente non mi vengono?

$\lim_{x \to 0} (2x - sen(3x))/ (sen(4x) $

$\lim_{x \to +\infty} (1+(4/(3x)))^x $

$\lim_{x \to +\infty} 3x (ln(x+1) - lnx) $

[minomic]

Ciao, prendo il secondo che mi viene in mente senza pensarci: sfruttiamo il limite notevole della $e$. $$
\left(1+\frac{4}{3x}\right)^x = \left[\left(1+\frac{4}{3x}\right)^{3x}\right]^{\frac{1}{3}}
$$ Quando passi al limite ottieni $$\left(e^{4}\right)^{\frac{1}{3}} = e^{\frac{4}{3}}$$

[Lucked]

Ti riferisci a questo?

$\lim_{x \to +\infty} (1 + (1/x))^x = e $

non è un problema il fatto che ci sia 4/3x al posto che 1/x ?

[minomic]

No non è un problema. Infatti la forma più generale del limite dice $$\lim_{x \to +\infty}{\left(1+\frac{k}{x}\right)^x} = e^k$$ Per quanto riguarda il $3x$ puoi immaginare (senza farlo perché sarebbe uno spreco di tempo) un cambio di variabile $t = 3x$. Da notare che se $x$ tende all'infinito allora anche $3x$ tende all'infinito.

[minomic]

Per quanto riguarda il primo possiamo riscriverlo nel seguente modo, moltiplicando e dividendo opportunamente: $$
\frac{2x}{\sin (4x)}\frac{4x}{4x} - \frac{\sin(3x)}{\sin(4x)}\frac{3x}{3x}\frac{4x}{4x}
$$ Semplifichiamo: $$
\frac{1}{\sin (4x)}\frac{4x}{2} - \frac{\sin(3x)}{\sin(4x)}\frac{3}{3x}\frac{4x}{4}
$$ Quando passiamo al limite resta $$
\frac{1}{2}-\frac{3}{4} = -\frac{1}{4}
$$

[minomic]

E già che ci siamo facciamo pure il terzo. Dalle proprietà dei logaritmi sappiamo che $$n\log_a b = \log_a {b^n}$$ Quindi portiamo la $x$ ad esponente dell'argomento del logaritmo, dopo aver applicato l'altra proprietà $$\log_a b - \log_a c = \log_a {\frac{b}{c}}$$ Otteniamo $$3\ln{\left(\frac{1+x}{x}\right)^x} = 3\ln{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}$$ Quando passiamo al limite troviamo $$3\ln e = 3\cdot 1 = 3$$

[Lucked]

ma nel limite notevole del logaritmo le successioni non devono tendere a zero per x che tende a + infinito? GRAZIE;

[minomic]

Non ho usato il limite notevole del logaritmo ma quello della $e$, cioè $$
\lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e
$$ Ovviamente tenendo conto che $$\lim \ln \left(\bullet\right) = \ln\lim \left(\bullet\right)$$

[Lucked]

grazie!

[minomic]

Prego! Per altri dubbi siamo qui.