Aiuto limite forma indeterminata in modo algebrico
Ciao qualcuno sa sciogliere in modo algebrico questa forma indeterminata $ lim_{x-> +oo } e^{ln(x+1) / ln(x)} $
Forse con il confronto?
Forse con il confronto?
Risposte
Non capisco il problema.
$ lim_{x-> +oo } ln(x+1) / ln(x) =1 $ quindi $ lim_{x-> +oo } e^{ln(x+1) / ln(x)} =e^1=e $
$ lim_{x-> +oo } ln(x+1) / ln(x) =1 $ quindi $ lim_{x-> +oo } e^{ln(x+1) / ln(x)} =e^1=e $
"@melia":
Non capisco il problema.
$ lim_{x-> +oo } ln(x+1) / ln(x) =1 $ quindi $ lim_{x-> +oo } e^{ln(x+1) / ln(x)} =e^1=e $
Sì infatti è l'esponente che vorrei risolvere in modo algebrico (e non con gli infinitesimi)... Seguo un ragazzo che sta facendo il quinto e questo esercizio è nel paragrafo forme indeterminate...
È terribile da fare a quest'ora ( 
), comunque una possibile via è questa:
$lim_(x->+oo) exp(log(x+1)/log(x))$
$lim_(x->+oo) exp(log(x(1+1/x))/log(x))$
$lim_(x->+oo) exp((log(x)+ log(1+1/x))/log(x))$
$lim_(x->+oo) exp(1+log(1+1/x)/log(x))$
Ora si può applicare il limite notevole $log(1+t)/t = 1$ per $t->0$ per cui:
$lim_(x->+oo) exp(1+log(1+1/x)/(1/x)*1/log(x)*1/x)$
Ora, per $x->+oo$, $log(1+1/x)/(1/x)->1$, $1/log(x)->0$ e $1/x->0$ quindi il limite fa effettivamente $e$.
Probabilmente sarebbe bastato osservare che $log(1+1/x)/log(x)->0$ per $x->+oo$ per concludere, ma visto che si era parlato di passaggi algebrici tanto valeva farli tutti
), comunque una possibile via è questa:$lim_(x->+oo) exp(log(x+1)/log(x))$
$lim_(x->+oo) exp(log(x(1+1/x))/log(x))$
$lim_(x->+oo) exp((log(x)+ log(1+1/x))/log(x))$
$lim_(x->+oo) exp(1+log(1+1/x)/log(x))$
Ora si può applicare il limite notevole $log(1+t)/t = 1$ per $t->0$ per cui:
$lim_(x->+oo) exp(1+log(1+1/x)/(1/x)*1/log(x)*1/x)$
Ora, per $x->+oo$, $log(1+1/x)/(1/x)->1$, $1/log(x)->0$ e $1/x->0$ quindi il limite fa effettivamente $e$.
Probabilmente sarebbe bastato osservare che $log(1+1/x)/log(x)->0$ per $x->+oo$ per concludere, ma visto che si era parlato di passaggi algebrici tanto valeva farli tutti
$ lim_(x->+oo) exp(1+log(1+1/x)/(1/x)*1/log(x)*1/x) $
Ti ringrazio moltissimo, infatti non c'è bisogno di scomodare il lim notevole, come dici tu basta far notare che $ ln (1+1/x) / ln x $ va a 0, non lo vedevo grazie ancora...
"Obidream":
emoticon
Ti ringrazio moltissimo, infatti non c'è bisogno di scomodare il lim notevole, come dici tu basta far notare che $ ln (1+1/x) / ln x $ va a 0, non lo vedevo grazie ancora...
Scusami, però tra il notare che $ln(1+1/x)/ln(x)$ va a zero e notare che $ln(x+1)/ln(x)$ va a uno, non ci vedo questa grande differenza ... in entrambi i casi devi stimare il comportamento delle funzioni in certi punti ...
Didatticamente parlando non vedo questo grande vantaggio per l'allievo, non sono metodi "diversi" ... a mio parere, ovviamente ...
Cordialmente, Alex
Didatticamente parlando non vedo questo grande vantaggio per l'allievo, non sono metodi "diversi" ... a mio parere, ovviamente ...
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Scusami, però tra il notare che $ln(1+1/x)/ln(x)$ va a zero e notare che $ln(x+1)/ln(x)$ va a uno, non ci vedo questa grande differenza ... in entrambi i casi devi stimare il comportamento delle funzioni in certi punti ...
Didatticamente parlando non vedo questo grande vantaggio per l'allievo, non sono metodi "diversi" ... a mio parere, ovviamente ...
Cordialmente, Alex
Hai ragione in pieno, in effetti riguardandolo ora è proprio meno intuitivo scritto in quel modo tant'è che nel dubbio ho messo comunque tutti i passaggi
$ ln(1+1/x)/ln(x) $ sostituendo gli infiniti viene $ 0 / oo = 0$, mentre $ ln(x+1)/ln(x) = oo / oo$ , mi sembra una bella differenza didatticamente, no?
Ho scritto
Cioè devi fare lo stesso "tipo" di lavoro in entrambi i casi quindi io, a quel punto, preferirei la strada più breve … in questo senso dicevo "didatticamente" (non ho usato "formalmente")
Se è vero che, formalmente, $ ln(x+1)/ln(x) = oo / oo $ è una forma indeterminata, all'atto pratico è una banalità, no?
Cordialmente, Alex
"axpgn":
... in entrambi i casi devi stimare il comportamento delle funzioni in certi punti ...
Cioè devi fare lo stesso "tipo" di lavoro in entrambi i casi quindi io, a quel punto, preferirei la strada più breve … in questo senso dicevo "didatticamente" (non ho usato "formalmente")
Se è vero che, formalmente, $ ln(x+1)/ln(x) = oo / oo $ è una forma indeterminata, all'atto pratico è una banalità, no?
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Ho scritto [quote="axpgn"]... in entrambi i casi devi stimare il comportamento delle funzioni in certi punti ...
Cioè devi fare lo stesso "tipo" di lavoro in entrambi i casi quindi io, a quel punto, preferirei la strada più breve … in questo senso dicevo "didatticamente" (non ho usato "formalmente")
Se è vero che, formalmente, $ ln(x+1)/ln(x) = oo / oo $ è una forma indeterminata, all'atto pratico è una banalità, no?
Cordialmente, Alex[/quote]
Grazie mille Alex, ma non riesco a capire perché (sempre "didatticamente") $ ln(x+1)/ln(x) = oo / oo $ all'atto pratico è una banalità, se non alla luce del passaggetto algebrico di cui sopra... Mi manca qualche pezzo (ripeto senza ragionare sull'ordine degli infiniti) ?
Grazie ancora
All'aumentare di $x$ i numeri $x$ e $x+1$ diventano "la stessa cosa" e quindi i loro logaritmi e di conseguenza il loro rapporto diventa uguale a "uno".
Questo è lo stesso ragionamento che fai con il tuo procedimento (anche se forse non lo hai notato): quando giungi a $1/x$ noti che il rapporto tra un numero fisso (cioè $1$) e un numero che diventa sempre più grande diventa "zero"; di fatto hai usato la stessa "tecnica" ma per una via più complicata.
A mio parere, questi sono "dettagli pratici" che, se fossi un insegnante, evidenzierei ai miei alunni, ovviamente in aggiunta ai "formalismi" (uso della definizione, De L'Hopital, Taylor, limiti notevoli, ecc.)
Cordialmente, Alex
Questo è lo stesso ragionamento che fai con il tuo procedimento (anche se forse non lo hai notato): quando giungi a $1/x$ noti che il rapporto tra un numero fisso (cioè $1$) e un numero che diventa sempre più grande diventa "zero"; di fatto hai usato la stessa "tecnica" ma per una via più complicata.
A mio parere, questi sono "dettagli pratici" che, se fossi un insegnante, evidenzierei ai miei alunni, ovviamente in aggiunta ai "formalismi" (uso della definizione, De L'Hopital, Taylor, limiti notevoli, ecc.)
Cordialmente, Alex
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