Aiuto Limite;

[Danying]

Salve;
Vorrei un aiuto su un limite semplicissimo

ovvero

$lim_(x->4) [(x^2-2x-3)-5]/(x-4) = $ dovrebbe essere una forma indeterminata $0/0$

il risultato del testo è $4$ ma personalmente risulta sempre "6"

Con la regola di De l'hopital non dovrebbe essere $(2x-2)/(1-4)$ ?


Grazie.

[^Tipper^1]

$lim_(x->4) (x^2-2x-8]/(x-4) = 0/0$

Hopital $lim_(x->4)(2x-2)/1= 6$

[sssebi]

Questa è più appropriata $lim_(x->4) [(x-4)(x+2)]/(x-4) = lim_(x->4) (x+2) = 6$

[Danying]

"sssebi":Questa è più appropriata $lim_(x->4) [(x-4)(x+2)]/(x-4) = lim_(x->4) (x+2) = 6$

Edit_ si scusate mi risulta 6 non -2 !

Cmq il problema è che nel testo risulta 4!!!!!!

l'esercizio comprende lo studio della derivata di $f(x) = [(x^2-2x-3)]$ nel punto $x=4$

la frase precisa del libro nella stesura dell'esercizio precisamente dice: " Osserviamo, adesso, che la frazione $[(x^2-2x-3)-5]/(x-4)$ è il rapporto incrementale della funzione $f$ nel punto $x=4$ il cui limite, per $x->4$, esiste finito e vale $f^{\prime}(4)$ ;

è quindi un errore del testo... dato che questo limite per x che tende a 4 è palesemente 6 ?

[@melia]

Dove leggi che il limite in questione vale 4? Il limite vale $f'(4)$ e non $4$.
Se $f(x)=x^2-2x-3$, allora $f'(x)=2x-2$ e $f'(4)=2*4-2=6$

[Danying]

"@melia":Dove leggi che il limite in questione vale 4? Il limite vale $f'(4)$ e non $4$.
Se $f(x)=x^2-2x-3$, allora $f'(x)=2x-2$ e $f'(4)=2*4-2=6$

ok;

Allora la frase Esiste finito è vale $f^{\prime}(4)$ è da interpretare come : esiste finito "cioè $6$ " e vale $f^{\prime}(4)$ perchè calcolato in $x_0=4$

No ?

[@melia]

Esattamente!

[Mathcrazy]

In effetti hai sbagliato a derivare il denominatore.
Infatti se $f(x)= x-4$ allora:
$f'(x)= 1$; poiché la derivata di una costante (cioè $4$) è ovviamente $0$.

Più in generale:
$f(x)=k$ $rArr$ $f'(x)= 0$ $AAk in R$ *



______________________________

Per completezza:
* Il motivo è semplice:
Pensa ad una funzione costante del tipo $f(x)=k$:

[asvg]axes();
stroke="red";
plot("3");[/asvg]

Prendiamo un punto $x_0$ e il suo incremento $x_0+h$
Facciamo il limite del rapporto incrementale,e otteniamo:
$lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h$ $=$ $lim_(h->0) (k-k)/h$ $= 0$

[Danying]

"@melia":Esattamente!

thanks;