Aiuto integrali?

[kathrinbergmann]

1. integrale (1/(senx) - 2/(sen^2x))dx
2. integrale (senx+3)/2senx
3. integrale (e^x sen e^x)/cos e^x
4.integrale cosx radq(3+2senx) dx

[mc2]

1.

Devi ricordare le identita` trigonometriche:

[math]\sin x=\frac{2\tan\frac{x}{2}}{1+\tan^2\frac{x}{2}}\\
\sin x=\frac{\tan x}{\sqrt{1+\tan^2 x}}
[/math]

Nel primo termine si usa la prima, nel secondo la seconda identita`:

[math]\int\left[\frac{1}{\sin x}-\frac{2}{\sin^2 x}\right]dx =
\int \left[\frac{1+\tan^2\frac{x}{2}}{2\tan\frac{x}{2}}-2\frac{{1+\tan^2 x}}{\tan^2 x}\right] dx=\\
=\log|\tan\frac{x}{2}|+\frac{2}{\tan x} + C
[/math]

Aggiunto 4 minuti più tardi:

2.

[math]\int\frac{\sin x+3}{2\sin x}dx=\int\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2\sin x}\right)dx=\\
= \frac{x}{2}+\frac{3}{2}\log|\tan\frac{x}{2}|+C
[/math]

(il secondo termine e` identico al primo dell'esercizio precedente)

Aggiunto 2 minuti più tardi:

3.

[math]\int\frac{ e^x\sin e^x}{\cos e^x}dx =-\log(\cos e^x)+C [/math]

(se perferisci puoi fare il cambio di variabile :

[math]y=\cos e^x[/math]

)


Aggiunto 4 minuti più tardi:

4.

Cambio variabile:

[math]y=3+2\sin x[/math]

,

[math]~dy=2\cos x dx[/math]

[math]\int \cos x\sqrt{3+2\sin x}dx=\int \frac{1}{2}\sqrt{y}dy=\frac{1}{2}\frac{2}{3}y^{3/2}=\frac{1}{3}(3+2\sin x)^{3/2}+C[/math]