Aiuto geometria euclidea rettangoli 1 liceo (309466)

[Giuliooo306]

Dato il rettangolo abcd,prolunga il lato AB di un segmento AE,il lato BC di un segmento BF, il lato CD di un segmento CG e un lato AD di un segmento DH,in modo che AE=BF=CG=DH. Dimostra che EFGH è un rettangolo se e solo se ABCD è un quadrato.

[anna.supermath]

Ciao Giulio, ho cercato di svolgere la dimostrazione che hai proposto.
Cerca di fare riferimento all’immagine che ho allegato.
Prima di tutto bisogna notare che se partendo dal rettangolo ABCD costruisco il quadrilatero EFGH secondo le indicazioni del testo che hai riportato:
EA =BF =CG = DH
ottengo un parallelogramma, poiché sono uguali le seguenti coppie di triangoli rettangoli
EAH e GCF sono triangoli rettangoli uguali
FBE e HDG sono triangoli rettangoli uguali (diversi dai due sopra).

Se ABCD è un quadrato, allora anche il quadrilatero EFGH è un quadrato (non un rettangolo).
Inoltre il fatto che venga chiesto di dimostrare che EFGH è un quadrato "se e solo se" lo è anche ABCD, trattandosi di una doppia implicazione, richiede che vengano dimostrate entrambe le due seguenti proposizioni:
I) Se ABCD è un quadrato, allora lo è anche il quadrilatero EFGH
II) Se EFGH è un quadrato, allora lo è anche ABCD
(ricordo che la doppia implicazione per essere vera richiede siano vere le due proposizioni legate).
Quindi iniziamo dimostrando il punto I)
I) Se ABCD è un quadrato, allora lo è anche il quadrilatero EFGH
Ipotesi
ABCD è un quadrato
Tesi
EFGH è un quadrato
Dimostrazione
I triangoli rettangoli EAH, FBE, GCF, HDG sono uguali fra loro per il Primo Criterio di Congruenza dei Triangoli, infatti
EA = FB = GC = HD (cateti minori) per costruzione
EB =FC =GD =HA (cateti maggiori) perché somma di segmenti uguali
EB = EA + AB
FC = FB + BC
GD = GC + DC
HA = HD +AD
gli angoli EBF, FCG, GDH, HAE sono uguali perché retti
EBF = FCG = GDH = HAE = 90°
Conseguentemente anche le loro ipotenuse sono uguali:
EF = FG =GH =HE
lati del quadrilatero EFGH.
Inoltre gli angoli sono a due a due complementari (guarda la figura):
Angolo in E
HEA = 90° - alfa
FEB = alfa
Angolo in F
BFE = 90° - alfa
CFG = alfa
Angolo in G
FGC = 90° - alfa
HGD = alfa
Angolo in H
GHD = 90° - alfa
AHE = alfa
Si conclude che il quadrilatero EFGH, oltre ad avere i lati uguali, ha tutti gli angoli di 90°
quindi è un quadrato.
Passiamo a dimostrare il punto II)
II) Se EFGH è un quadrato, allora lo è anche ABCD
Ipotesi
EFGH è un quadrato
Tesi
ABCD è un quadrato
Dimostrazione
Inizialmente ho precisato il fatto che se ABCD è un rettangolo allora EFGH è un parallelogramma.
Se EFGHè un quadrato, ha tutti i lati uguali e gli angoli retti.
conseguentemente i triangoli rettangoli EAH, FBE, GCF, HDG hanno tutti la stessa ipotenusa ed il cateto minore uguale al segmento EA = FB =CG =DH
Necessariamente anche gli altri cateti devono essere uguali
EB = FC =DG = AH
e ciascuno di questi cateti è somma di EA = FB =CG =DH con i lati del rettangolo ABCD, che deve necessariamente avere tutti i lati uguali, quindi un rettangolo con tutti i lati uguali è un quadrato, che è quanto volevamo dimostrare.