Aiuto equazioni e disequazioni goniometriche.

[Mauro96]

Salve a tutti avrei questa semplicissima disequazione:$tgx>1$ che però non riesco a risolvere perché probabilmente nonostante sappia la teoria non ho compreso per niente la pratica, La tg è maggiore di uno quindi è la tangente di un angolo maggiore di 45° ma il risultato è 45°+k180° E un'altra cosa: mi sembra di aver capito che si aggiunge il k360° anche se non ce ne è bisogno 45° + k360 ovvero 45° ma quand'è che si usa il k180°?

Grazie mille

[rikriz]

allora intanto per risolvere le disequazioni bisogna riuscire a risolvere le equazioni goniometriche

cominciamo:

$tgx=1$ è verificata per $x=pi/4 +kpi$

si usa $kpi$ perchè la tangente è una funzione goniometrica di periodo $pi$, con $k in ZZ$

ora risolviamo la disequazione

$tgx>1$ vediamo che partendo da $pi/4$ fino a $pi/2$ la "tgx" assume valori maggiori di 1 fino all'infinito, oltrepassato $pi/4$ inizia ad assumere valori negativi, quindi non maggiori di 1

perciò le soluzioni sono l'intervallo $pi/4 +kpi

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[Mauro96]

"rikriz":allora intanto per risolvere le disequazioni bisogna riuscire a risolvere le equazioni goniometriche

cominciamo:

$tgx=1$ è verificata per $x=pi/4 +kpi$

si usa $kpi$ perchè la tangente è una funzione goniometrica di periodo $pi$

ora risolviamo la disequazione

$tgx>1$ vediamo che partendo da $pi/4$ fino a $pi/2$ la "tgx" assume valori maggiori di 1 fino all'infinito, oltrepassato $pi/4$ inizia ad assumere valori negativi, quindi non maggiori di 1

perciò le soluzioni sono l'intervallo $pi/4 +kpi

Grazie mille! Ma quindi con le tangenti e cotangenti si usa +k180° mentre per seno e coseno il k360°?

[Sk_Anonymous]

"Alpot":Ma quindi con le tangenti e cotangenti si usa +k180° mentre per seno e coseno il k360°?

Esattamente. Tangente e cotangente hanno periodo $k\pi$, mentre seno e coseno hanno periodo $2k\pi$.

[Mauro96]

grazie

[rikriz]

"Delirium":[quote="Alpot"]Ma quindi con le tangenti e cotangenti si usa +k180° mentre per seno e coseno il k360°?

Esattamente. Tangente e cotangente hanno periodo $k\pi$, mentre seno e coseno hanno periodo $2k\pi$.[/quote]

si generalmente funziona così, ma ti faccio notare qualche piccola anomalia

data l'equazione $cosx=0$ questa viene verificara per $x=pi/2 +kpi$

oppure data l'equazione $sinx=0$ questa viene verificata per $kpi$

anche in questi casi il periodo che viene usato è $kpi$ con $k in ZZ$

[hee136]

"rikriz":[quote="Delirium"][quote="Alpot"]Ma quindi con le tangenti e cotangenti si usa +k180° mentre per seno e coseno il k360°?

Esattamente. Tangente e cotangente hanno periodo $k\pi$, mentre seno e coseno hanno periodo $2k\pi$.[/quote]

si generalmente funziona così, ma ti faccio notare qualche piccola anomalia

data l'equazione $cosx=0$ questa viene verificara per $x=pi/2 +kpi$

oppure data l'equazione $sinx=0$ questa viene verificata per $kpi$

anche in questi casi il periodo che viene usato è $kpi$ con $k in ZZ$[/quote]

Nessuna anomalia.

Prendiamo $ sin x = 0 $

Questa equazione è verificata per i seguenti valori di x:
$ x = 0 + 2k pi = 2kpi$
$ x = pi + 2k pi = (2k + 1)pi$
Entrambe con $ k in ZZ $

Dalla prima vediamo che l'equazione è soddisfatta per multipli interi pari di pi greco.
Dalla seconda vediamo che l'equazione è soddisfatta per multipli interi dispari di pi greco.
Quindi le soluzioni possono essere condensate in una unica:
$ x = kpi $ con $ k in ZZ $

[Sk_Anonymous]

Esatto. Il termine "anomalia", in questo contesto, ha poco significato. Si pensi del resto ai grafici di seno e coseno.