Aiuto derivata

[valenta93]

ciao a tutti :)
come si risolve questa derivata?

y=(x+2)^logx

dove ^=elevato

grazie mille :)

[BIT5]

si tratta di derivare una funzione composta esponenziale.

La derivata di

[math] \[ f(x) \]^{g(x)} [/math]

e'

[math] g'(x) \log f(x) + \frac{g(x)f'(x)}{f(x)} [/math]

quindi nel nostro caso:

[math] f(x) = x+2 \\ \\ \\ f'(x) = 1 \\ \\ \\ g(x)= \log x \\ \\ \\ g'(x)= \frac{1}{x} [/math]

pertanto la derivata sara'

[math] \frac{1}{x} \log (x+2) + \frac{\log x \cdot 1}{x+2} [/math]

e quindi

[math] \frac{1}{x} \log(x+2) + \frac{\log x}{x+2} = \frac{(x+2) \log (x+2) + x \log x}{x(x+2)} = \frac{\log(x+2)^{(x+2)} + \log x^x}{x(x+2)} [/math]

(ho creato il minimo comune denominatore e poi applicato la regola del logaritmo

[math] a \log b = \log b^a [/math]

)

ecco a te :)

[valenta93]

grazie mille :) mi sa ke ho scelto un esercizio che nn sappiamo ancora fare...questa regola non l'ho mai vista ZìXD comunque grazie utilizzando quella regola ho capito :)

posso chiedertene mica un'altra? perchè non mi viene...Y= (x-2)/ radice quadrupla di (x-2)

[the.track]

MMM... Scusa se mi intrometto ma la derivata:

[math]D[f(x)^{g(x)}]=f(x)^{g(x)}D[ln[f(x)^{g(x)}]][/math]

[math]\rightarrow\; =(x+2)^{log x}D[logx \cdot (x+2)][/math]

Da qui credo tu sappia andare avanti. Il risultato dovrebbe essere:

[math](x+2)^{log x}\(\frac{log x}{x+2}+\frac{log(x+2)}{x} \)[/math]

:)

[BIT5]

Eggià, mi sembrava strano che venisse cosi' la derivata.

Grazie the track :)

Per l'altra domanda..

[math] f(x)= \frac{x-2}{\sqrt[4]{x-2}} [/math]

applichiamo la regola della derivata di una funzione fratta..

[math] f(x)= \frac{g(x)}{h(x)} \to f'(x)= \frac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h^2(x)} [/math]

la derivata del numeratore e' 1
la derivata del denominatore...

[math] Den = (x-2)^{\frac14} [/math]

da cui la derivata

[math] \frac14 (x-2)^{\frac14-1} = \frac14 (x-2)^{- \frac34} = \frac14 \frac{1}{\sqrt[4]{(x-2)^3}} [/math]

quindi

[math] f'(x)= \frac{\sqrt[4]{x-2} - (x-2)\(\frac{1}{4 \sqrt[4]{(x-2)^3}} \)}{\sqrt[4]{x-2}^2} [/math]

quindi

[math] f'(x)= \frac{\sqrt[4]{x-2} - \frac{x-2}{4 \sqrt[4]{(x-2)^3}}}{\sqrt{x-2}} [/math]

minimo comune multiplo al numeratore

[math] f'(x)= \frac{ \frac{4 \sqrt[4]{(x-2)^4} - x + 2}{4 \sqrt[4]{(x-2)^3}}}{\sqrt[4]{(x-2)^2}} [/math]

quindi

[math] f'(x) = \frac{4(x-2)-x+2}{4 \sqrt[4]{(x-2)^5}} [/math]

(in verita' radice quarta di x-2 alla quarta e' uguale a |x-2| (con il valore assoluto)

ma il dominio della funzione sopra, prevede x-2 sempre maggiore di zero, pertanto il modulo non serve )

quindi (porto fuori al denominatore)

[math] f'(x) = \frac{4x-8-x+2}{4(x-2) \sqrt[4]{x-2}} [/math]

e dunque

[math] f'(x)= \frac{3x-6}{4(x-2) \sqrt[4]{x-2}} = \frac{3(x-2)}{4(x-2) \sqrt[4]{x-2}} = \frac{3}{4 \sqrt[4]{x-2}} [/math]

spero sia corretta :)