Aiuto con un problema tra frazioni e proporzioni
Vorrei porre alla vostra attenzione un problema di cui ho sì trovato la soluzione, ma di cui, anche in questa occasione, non ne ho capito un passaggio.
Significa che se non avessi avuto il risultato finale di tale problema mi sarei fermato ad un passaggio precedente, avendone invece il risultato ho potuto capire che mi bastava moltiplicare per 2 quel risultato ottenuto come ultimo passaggio.
Il problema è il seguente: Ho letto i 2/7 del numero delle pagine di un libro, poi 5/6 del numero delle pagine rimaste. Di quante pagine è il libro se, per completarne la lettura, debbo leggere ancora 60 pagine? **il risultato è 504**
Io ho proceduto in questo modo, intanto ho visualizzato tali parte di un libro figurandomelo in un grafico circolare, i 2/7 del cerchio, e poi i 5/6 della fetta restante, il resto sarebbero le 60 pagine rimanenti.
Ho moltiplicato 2/7 per i 5/6 ottenendo 5/21 attraverso questo ragionamento. Il prodotto ottenuto sarà la lettura della parte A del libro sommata alla lettura della parte B (ovvero i 5/6 del restante libro tolti i 2/7 del totale. Dopo il seguente ragionamento: "i 5/21 dovrebbero essere una parte del totale, tale che sommata al 60 mi dia il totale, ma credo sia sbagliato come ragionamento in quanto ho dimostrato con i numeri che non può essere)
Comunque ho proceduto...
A questo punto comincio a fare una leggera confusione, propongo una proporzione ragionando nel seguente modo:
5:21=60:x = (21*60)/5 = 1260/5 = 252
Eccoci, qui è dove mi sarei fermato se non avessi avuto il risultato del problema. Infatti non sono riuscito a capire cosa sia effettivamente questo quoziente. Che moltiplicato per 2 mi risolve però il problema.
Chi mi aiuta a chiarire un po' meglio per favore?
grazie
Significa che se non avessi avuto il risultato finale di tale problema mi sarei fermato ad un passaggio precedente, avendone invece il risultato ho potuto capire che mi bastava moltiplicare per 2 quel risultato ottenuto come ultimo passaggio.
Il problema è il seguente: Ho letto i 2/7 del numero delle pagine di un libro, poi 5/6 del numero delle pagine rimaste. Di quante pagine è il libro se, per completarne la lettura, debbo leggere ancora 60 pagine? **il risultato è 504**
Io ho proceduto in questo modo, intanto ho visualizzato tali parte di un libro figurandomelo in un grafico circolare, i 2/7 del cerchio, e poi i 5/6 della fetta restante, il resto sarebbero le 60 pagine rimanenti.
Ho moltiplicato 2/7 per i 5/6 ottenendo 5/21 attraverso questo ragionamento. Il prodotto ottenuto sarà la lettura della parte A del libro sommata alla lettura della parte B (ovvero i 5/6 del restante libro tolti i 2/7 del totale. Dopo il seguente ragionamento: "i 5/21 dovrebbero essere una parte del totale, tale che sommata al 60 mi dia il totale, ma credo sia sbagliato come ragionamento in quanto ho dimostrato con i numeri che non può essere)
Comunque ho proceduto...
A questo punto comincio a fare una leggera confusione, propongo una proporzione ragionando nel seguente modo:
5:21=60:x = (21*60)/5 = 1260/5 = 252
Eccoci, qui è dove mi sarei fermato se non avessi avuto il risultato del problema. Infatti non sono riuscito a capire cosa sia effettivamente questo quoziente. Che moltiplicato per 2 mi risolve però il problema.
Chi mi aiuta a chiarire un po' meglio per favore?
grazie
Risposte
Non è più semplice porre la seguente equazione: $\frac{2}{7}x + \frac{5}{6}(x-\frac{2}{7}x) + 60 = x$?
Non ho ancora studiato le equazioni quindi devo risolvere secondo i criteri per adesso insegnatimi.
Cioè alle superiori non ti hanno ancora insegnato le equazioni?
Ho cancellato una porcheria tremenda. Chiedo scusa.
Ho cancellato una porcheria tremenda. Chiedo scusa.
"Daniele84bl":
Ho moltiplicato 2/7 per i 5/6 ottenendo 5/21 attraverso questo ragionamento. Il prodotto ottenuto sarà la lettura della parte A del libro sommata alla lettura della parte B (ovvero i 5/6 del restante libro tolti i 2/7 del totale.
Questo punto è sbagliato concettualmente.
La parte A è $2/7$ del totale, la parte B è $5/6$ del rimanente, non della parte A.
Se esprimi il rimanente come la differenza tra il totale e la parte A,
e poi calcoli i $5/6$ di ciò che ottieni, ti risulta la porzione di totale che esprime la parte B.
Poi sommi le due parti e il resto del problema viene di conseguenza. Ti trovi?
Mi trovo relativamente, nel senso che ciò che hai detto lo avevo già concettualizzato.
Ho sbagliato a dire:
"Ho moltiplicato 2/7 per i 5/6 ottenendo 5/21 attraverso questo ragionamento: Il prodotto ottenuto sarà la lettura della parte A del libro sommata alla lettura della parte B ovvero i 5/6 del restante libro tolti i 2/7 del totale. eccetera"
Infatti i miei calcoli successivi, riportati sul post iniziale, non rispettano quanto detto.
Per non fare confusione ricomincio da qui.
-Ho stabilito che esiste un insieme che è il totale delle pagine del libro, lo chiamo x, una vera e propria incognita.
-di questo totale ne leggo 2/7, cioè 2/7 di x.
-Il restante è y, o meglio y = x-2/7
-di questo restante ne leggo 5/6, cioè 5/6 di y
-ciò che rimane dei 5/6 di y sono le 60 pagine (in teoria da questo si potrebbe stabilire a quante pagine ammonta y, cioè 60 * 5 = 300, però non credo sia rilevante saperlo data la consegna del problema, non ci è di aiuto questo dato, non è necessario.
-A questo punto ho creato una proporzione (perché il mio programma di studio le prevede e quindi l'esercizio ne fa un chiaro richiamo) così scrivo 21:5=x:60 e ho proceduto (21*60)/5= 252
A questo punto ciò che non mi spiego è, perché tale risultante corrisponde alla metà del totale? Se me lo spiegassi saprei che arrivato a questo punto dell'esercizio, senza conoscerne il risultato, saprei che devo moltiplicare le 252 pagine per 2.
Ho sbagliato a dire:
"Ho moltiplicato 2/7 per i 5/6 ottenendo 5/21 attraverso questo ragionamento: Il prodotto ottenuto sarà la lettura della parte A del libro sommata alla lettura della parte B ovvero i 5/6 del restante libro tolti i 2/7 del totale. eccetera"
Infatti i miei calcoli successivi, riportati sul post iniziale, non rispettano quanto detto.
Per non fare confusione ricomincio da qui.
-Ho stabilito che esiste un insieme che è il totale delle pagine del libro, lo chiamo x, una vera e propria incognita.
-di questo totale ne leggo 2/7, cioè 2/7 di x.
-Il restante è y, o meglio y = x-2/7
-di questo restante ne leggo 5/6, cioè 5/6 di y
-ciò che rimane dei 5/6 di y sono le 60 pagine (in teoria da questo si potrebbe stabilire a quante pagine ammonta y, cioè 60 * 5 = 300, però non credo sia rilevante saperlo data la consegna del problema, non ci è di aiuto questo dato, non è necessario.
-A questo punto ho creato una proporzione (perché il mio programma di studio le prevede e quindi l'esercizio ne fa un chiaro richiamo) così scrivo 21:5=x:60 e ho proceduto (21*60)/5= 252
A questo punto ciò che non mi spiego è, perché tale risultante corrisponde alla metà del totale? Se me lo spiegassi saprei che arrivato a questo punto dell'esercizio, senza conoscerne il risultato, saprei che devo moltiplicare le 252 pagine per 2.
"Daniele84bl":
-Ho stabilito che esiste un insieme che è il totale delle pagine del libro, lo chiamo x, una vera e propria incognita.
-di questo totale ne leggo 2/7, cioè 2/7 di x.
-Il restante è y, o meglio y = x-2/7
-di questo restante ne leggo 5/6, cioè 5/6 di y
-ciò che rimane dei 5/6 di y sono le 60 pagine (in teoria da questo si potrebbe stabilire a quante pagine ammonta y, cioè 60 * 5 = 300, però non credo sia rilevante saperlo data la consegna del problema, non ci è di aiuto questo dato, non è necessario.
-A questo punto ho creato una proporzione (perché il mio programma di studio le prevede e quindi l'esercizio ne fa un chiaro richiamo) così scrivo 21:5=x:60 e ho proceduto (21*60)/5= 252
Se hai sbagliato a scrivere, perché nella proporzione usi di nuovo il prodotto $5/21$?
In realtà si ricava che $y = 60*6 = 360$ (distrazione, suppongo):
questo è comodo per la risoluzione del problema, perché così puoi impostare la proporzione:
$y : x = (7-2) : 7$
considerando che y è ciò che rimane dopo la lettura dei $2/7$; da cui ricavi infine:
$x = \frac{7 y}{5} = \frac{7 * 360}{5} = 504$.
Spero sia un po' più chiaro così, altrimenti posso scrivere tutti i passaggi.
Intendo dire che ho sbagliato ad esprimere ciò che riporto nella parte testuale dove avrei spiegato la mia idea di concettualizzazione del caso.
Per me la proporzione da me riportata era giusta, ma soprattutto, se la risultante è la metà di 504, a meno che non sia un comune caso, non dovrà poi essere del tutto errata. Infatti se non è un caso, per ogni caso analogo a questo, applicando la mia proporzione si può ricavarne poi il totale moltiplicando per due.
Per appurarlo verificherò cambiando i dati numerici.
Magari non è proprio detto che esistano esclusivamente due o tre soluzioni concrete.
Invece riguardo al tuo caso ho sbagliato sì a dire che $y=60*5, y=60*6$ ok. E pensavo finisse lì. Invece ero all'inizio di un'altra soluzione. Con la rappresentazione cartesiana me ne sono reso conto in un miglior modo.
quindi $y$:$x=(7-2)$:$7$ per la proprietà dello scomporre che effettivamente non mi sarebbe mai saltanto in mente di utilizzare.
Ed il resto bene o male lo si intuisce facilmente.
Ho altri problemi da risolvere domani, simili a questo, spero di riuscire a risolverli con facilità.
Aggiornamento: Ho provato cambiando i dati numerici e ho capito due cose fondamentali. Prima di tutto che il mio ragionamento è corretto, ma non si moltiplica il risultato ottenuto da $5$:$21=60$:$x$ per 2, ovvero non si moltiplica 252 per 2 come regola fondamentale. Ma si moltiplica invece tale risultato per il numeratore della prima frazione.
Ho infatti provato cambiando i dati e dimostrando il risultato sia con la tua proporzione che con la mia, ovvero:
3/5 di x = pagine lette inizialmente da un totale incognito
2/7 di y = pagine lette della parte restante
120 = pagine restanti
con il tuo metodo:
$y=120*7 = 840$ e dunque $y$:$x=(5-3)$:$5$
$x=(5y)/2$ = $5*840/2$=$4200/2$=$2100
con il mio metodo ormai compreso:
$6$:$35$=$120$:$x$ si prosegue $(35*120)/6$ = $4200/6$
a questo punto il risultato, ovvero $700$ lo si moltiplica per il numeratore della frazione iniziale, quindi $700*3$=$2100$
Per me la proporzione da me riportata era giusta, ma soprattutto, se la risultante è la metà di 504, a meno che non sia un comune caso, non dovrà poi essere del tutto errata. Infatti se non è un caso, per ogni caso analogo a questo, applicando la mia proporzione si può ricavarne poi il totale moltiplicando per due.
Per appurarlo verificherò cambiando i dati numerici.
Magari non è proprio detto che esistano esclusivamente due o tre soluzioni concrete.
Invece riguardo al tuo caso ho sbagliato sì a dire che $y=60*5, y=60*6$ ok. E pensavo finisse lì. Invece ero all'inizio di un'altra soluzione. Con la rappresentazione cartesiana me ne sono reso conto in un miglior modo.
quindi $y$:$x=(7-2)$:$7$ per la proprietà dello scomporre che effettivamente non mi sarebbe mai saltanto in mente di utilizzare.
Ed il resto bene o male lo si intuisce facilmente.
Ho altri problemi da risolvere domani, simili a questo, spero di riuscire a risolverli con facilità.
Aggiornamento: Ho provato cambiando i dati numerici e ho capito due cose fondamentali. Prima di tutto che il mio ragionamento è corretto, ma non si moltiplica il risultato ottenuto da $5$:$21=60$:$x$ per 2, ovvero non si moltiplica 252 per 2 come regola fondamentale. Ma si moltiplica invece tale risultato per il numeratore della prima frazione.
Ho infatti provato cambiando i dati e dimostrando il risultato sia con la tua proporzione che con la mia, ovvero:
3/5 di x = pagine lette inizialmente da un totale incognito
2/7 di y = pagine lette della parte restante
120 = pagine restanti
con il tuo metodo:
$y=120*7 = 840$ e dunque $y$:$x=(5-3)$:$5$
$x=(5y)/2$ = $5*840/2$=$4200/2$=$2100
con il mio metodo ormai compreso:
$6$:$35$=$120$:$x$ si prosegue $(35*120)/6$ = $4200/6$
a questo punto il risultato, ovvero $700$ lo si moltiplica per il numeratore della frazione iniziale, quindi $700*3$=$2100$
Mi sembra che abbiate cercato una via complicata per la risoluzione di un problema semplice:
Ho letto i $2/7$ del numero delle pagine di un libro, quindi mi rimangono da leggere $1-2/7=5/7$
poi $5/6$ del numero delle pagine rimaste che sono quindi $5/6*5/7=25/42$ del totale
fino ad ora ho letto $2/7+25/42=37/42$ del libro, mi rimane da leggere $1-37/42=5/42$ del libro.
Ma $5/42$ del libro corrispondono a 60 pagine, quindi il libro intero è di $(60:5)*42=504$ pagine
Ho letto i $2/7$ del numero delle pagine di un libro, quindi mi rimangono da leggere $1-2/7=5/7$
poi $5/6$ del numero delle pagine rimaste che sono quindi $5/6*5/7=25/42$ del totale
fino ad ora ho letto $2/7+25/42=37/42$ del libro, mi rimane da leggere $1-37/42=5/42$ del libro.
Ma $5/42$ del libro corrispondono a 60 pagine, quindi il libro intero è di $(60:5)*42=504$ pagine
"@melia":
Mi sembra che abbiate cercato una via complicata per la risoluzione di un problema semplice [...]
Infatti è così che gli avevo suggerito di impostarlo nel mio primo messaggio,
ma mi sembrava interessante mostrargli anche un metodo più vicino al suo ragionamento.
A Daniele: ovviamente puoi scegliere la strada che preferisci,
basta che tu sappia perché il risultato va moltiplicato per il primo numeratore.
Le "regolette" saranno anche comode, ma credo sia più importante capire perché funzionano, no?
Certo meuersault, infatti è ciò che mi prodigo di concludere ancor prima di dedicarmi alla conclusione di per se stessa di un esercizio. Non avrebbe difatti alcuna importanza un esercizio tolto ll ragionamento logico e la matematica dietro di esso.
Ad esempio @melia il tuo ragionare per interi meno la parte frazionaria è geniale per quanto semplice, userò il tuo sistema più frequentemente. Tra l'altro l'ho già applicato ad un nuovo problema concludendolo senza troppi impergolamenti logici. Davvero semplice e sensato.
Ad esempio @melia il tuo ragionare per interi meno la parte frazionaria è geniale per quanto semplice, userò il tuo sistema più frequentemente. Tra l'altro l'ho già applicato ad un nuovo problema concludendolo senza troppi impergolamenti logici. Davvero semplice e sensato.
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