Aiuto con un problema su iperbole equilatera traslata
Ciao a tutti...avrei bisogno di un aiuto con questo problema:
Dopo aver verificato che la funzione y=k/x (con k appartenente a R escluso 0), ha due asintoti,provare che il triangolo,avente per lati i due asintoti e la tangente in un punto qualsiasi P del grafico, ha area costante(cioè indipendente dal punto P).
Grazie a tutti anticipatamente :)
Aggiunto 22 ore 49 minuti più tardi:
Grazie mille BIT5... alla prossima :)
Dopo aver verificato che la funzione y=k/x (con k appartenente a R escluso 0), ha due asintoti,provare che il triangolo,avente per lati i due asintoti e la tangente in un punto qualsiasi P del grafico, ha area costante(cioè indipendente dal punto P).
Grazie a tutti anticipatamente :)
Aggiunto 22 ore 49 minuti più tardi:
Grazie mille BIT5... alla prossima :)
Risposte
Per verificare che la funzione abbia asintoto orizzontale:
e dunque y=0 e' asintoto orizzontale.
Per l'asintoto verticale, dopo aver verificato che esiste un punto di discontinuita' in x=0, calcoli
E analogamente per - infinito la funzione tende a - infinito e pertanto x=0 e' asintoto verticale.
Sappiamo che la retta tangente ad una funzione in un suo punto ha sempre pendenza = alla derivata della funzione in quel punto.
Calcoliamo dunque la derivata prima
e pertanto la retta tangente, detto
Ma siccome il punto di tangenza e' anche un punto della funzione, sara' vero che detta
La retta passera' per quel punto, pertanto sara' vero che, ribadendo l'equazione della retta tangente generica:
le coordinate del punto dovranno essere soddisfatte dalla retta (che passa per quel punto) e pertanto
E pertanto tutte le rette tangenti alla funzione, stabilite le coordinate del punto di tangenza, avranno equazione
Il triangolo (rettangolo) avra' i cateti che giacciono sugli asintoti.
I punti di intersezione della retta generica con gli assi saranno:
E dunque l'area del triangolo sara'
Che pertanto non dipende dall'ascissa del punto scelto come punto di tangenza, ma solo dal valore di k
[math] \lim_{x \to \infty} \frac{k}{x} = 0 [/math]
e dunque y=0 e' asintoto orizzontale.
Per l'asintoto verticale, dopo aver verificato che esiste un punto di discontinuita' in x=0, calcoli
[math] \lim_{x \to 0^+} \frac{k}{x} = \frac{k}{0^+} = + \infty [/math]
E analogamente per - infinito la funzione tende a - infinito e pertanto x=0 e' asintoto verticale.
Sappiamo che la retta tangente ad una funzione in un suo punto ha sempre pendenza = alla derivata della funzione in quel punto.
Calcoliamo dunque la derivata prima
[math] y'= - \frac{k}{x^2} [/math]
e pertanto la retta tangente, detto
[math] P (x_P , y_P) [/math]
il punto di tangenza, avra' equazione generica[math] y=- \frac{k}{x_P^2} x + q [/math]
Ma siccome il punto di tangenza e' anche un punto della funzione, sara' vero che detta
[math] x_P [/math]
l'ascissa generica del putno di tangenza alla funzione, la retta passera' per il punto [math] P ( x_P , \frac{k}{x_P} ) [/math]
in quanto il punto di tangenza soddisfera' l'equazione della funzione.La retta passera' per quel punto, pertanto sara' vero che, ribadendo l'equazione della retta tangente generica:
[math] y=- \frac{k}{x_P^2} x + q [/math]
le coordinate del punto dovranno essere soddisfatte dalla retta (che passa per quel punto) e pertanto
[math] \frac{k}{x_P} = - \frac{k}{x_P^2} x_P + q \to q= \frac{2k}{x_P} [/math]
E pertanto tutte le rette tangenti alla funzione, stabilite le coordinate del punto di tangenza, avranno equazione
[math] y=- \frac{k}{x_P^2} x + \frac{2k}{x_P} [/math]
Il triangolo (rettangolo) avra' i cateti che giacciono sugli asintoti.
I punti di intersezione della retta generica con gli assi saranno:
[math] x=0 \to y= \frac{2k}{x_P} [/math]
[math] y=0 \to - \frac{k}{x_P^2} x + \frac{2k}{x_P}=0 \to x=2x_P [/math]
E dunque l'area del triangolo sara'
[math] \frac12 \cdot \frac{2k}{x_P} \cdot 2 x_P = 2k [/math]
Che pertanto non dipende dall'ascissa del punto scelto come punto di tangenza, ma solo dal valore di k
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo