Aiuto con un problema! (47075)

[FactoryGirl]

Salve a tutti! Chiedo aiuto perchè non ho la più pallida idea di come si risolva questo problema :S .... Grazie a tutti!

In un sistema di assi cartesiani ortogonali si consideri la parabola C di equazione y= -x^2 +4x -3.
Sottoposta la curva alla trasformazione x=mX (m>0) y=nY (n>0), si determino i coefficienti m ed n in modo che il rettangolo circoscritto al segmento parabolico di C determinato dall'asse delle ascisse si trasformi in un quadrato equivalente. Si calcoli l'area dello stesso segmento parabolico.

Aggiunto 19 ore 23 minuti più tardi:

Perfetto!!! Tutto chiaro!! =) Grazie BIT5... :) :) :) Alla prossima!

[BIT5]

Dunque:

per prima cosa ragioniamo sulla parabola data.

Essa ha concavita' verso il basso, interseca l'asse y nei punti x=1 e x=3.

Infatti

[math]-x^2+4x-3=0 \to x^2-4x+3=0 \to \\ \to (x-1)(x-3)=0 \to x=1 \ \ \ x=3 [/math]

Inoltre ha vertice:

[math] x_V=- \frac{b}{2a}=- \frac{4}{-2}=2 [/math]

[math] y_V= -(2^2)+4(2)-3=1 [/math]

Il rettangolo chiesto dal problema, ha pertanto base = 2 (ovvero e' il segmento compreso tra le due ascisse nei punti di intersezione con l'asse x) e altezza = 1 (ovvero, l'altra base, essendo il rettangolo circoscritto al segmento parabolico, sara' parallela alla base (che giace sull'asse x ) e tocchera' il vertice. L'altezza sara' dunque la distanza tra le due basi, che altro non e' che l'ordinata del vertice).

Consideriamo ora la nuova parabola trasformata:

x=mX y=nY

La nuova parabola sara'

[math] - (mX)^2+4(mX)-3=nY [/math]

ovvero

[math] -m^2X^2+4mX-3=nY [/math]

Essa avra' intersezione con l'asse delle ascisse nei punti

[math] -m^2X^2+4mX-3=0 \to m^2X^2-4mX+3=0 [/math]

Usando la ridotta:

[math] X= \frac{2m \pm \sqrt{4m^2-3m^2}}{m^2} \to \frac{2m \pm m}{m^2} [/math]

Le ascisse dei punti di intersezione saranno dunque:

[math] X_1=\frac{3m}{m^2}= \frac{3}{m} [/math]

[math] X_2= \frac{m}{m^2}= \frac{1}{m} [/math]

E pertanto la base del rettangolo inscritto sara' la differenza tra le due ascisse, quindi

[math] b= | \frac{3}{m}-{1}{m}|= |\frac{2}{m}| [/math]

Inoltre la parabola generica del fascio avra' vertice in

[math] X_V=- \frac{4m}{-2m^2}= \frac{2}{m} [/math]

E sostituendo l'ascissa del vertice alla prabola (oppure utilizzando la formula della y del vertice, come vuoi)

[math] -m^2 \cdot \frac{4}{m^2} +4m \cdot \frac{2}{m}+3= 1 =nY[/math]

da cui

[math] Y_V= \frac{1}{n} [/math]

che e' l'altezza del nuovo rettangolo.

Il rettangolo originario aveva area 2x1=2

Il problema ci chiede rettangolo equivalente (di Area 2 quindi) e che sia un quadrato.

Quindi base x altezza =2, e base=altezza, ovvero

[math] \{\frac{1}{n} = \frac{2}{m} \\ \frac{2}{m} \cdot \frac{1}{n} = 2 [/math]

E quindi

[math] \{m=2n \\ \frac{2}{2n} \cdot \frac{1}{n} = 2 [/math]

[math] \{m=2n \\ n^2= \frac12 [/math]

E quindi

[math] n= \pm \frac{1}{\sqrt2} [/math]

E siccome il problema ci chiede n>0 avremo (razionalizzando)

[math] n= \frac{\sqrt2}{2} [/math]

E quindi

[math] m= \sqrt2 [/math]

La parabola sara'

[math] -2x^2+4 \sqrt2x-3= \sqrt2 y \to y= - \sqrt2 x^2+4x-3 [/math]

Se hai dubbi chiedi :)