Aiuto con un problema!
Il punto P è situato su una semicirconferenza di centro O e diametro AB=2r.
Tracciate le tangenti s e t alla circonferenza,rispettivamente nei punti P e B,sia L il punto di intersezione della retta s con il prolungamento del diametro e T la proiezione di P sulla retta t.Dopo aver ricavato le aree dei triangoli LPO e PTB in funzione dell'angolo PBA=x, calcolare il limite del loro rapporto al tendere del punto P ad A.
GRAZIE!
Tracciate le tangenti s e t alla circonferenza,rispettivamente nei punti P e B,sia L il punto di intersezione della retta s con il prolungamento del diametro e T la proiezione di P sulla retta t.Dopo aver ricavato le aree dei triangoli LPO e PTB in funzione dell'angolo PBA=x, calcolare il limite del loro rapporto al tendere del punto P ad A.
GRAZIE!
Risposte
E dunque.
E' lunghino :D
Considera il triangolo PBO.
Questo e' isoscele, dal momento che i lati PO e BO sono i raggi della circonferenza.
Pertanto PO=OB=r.
E dunque, posto l'angolo PBO=x come chiesto dal problema, avremo che BPO=x.
detto questo, tracciamo l'altezza OH del triangolo isoscele, e consideriamo il triangolo rettangolo OHB, di ipotenusa r.
Quindi avremo che
e pertanto PB (che e' il doppio di BH)
Consideriamo ora il triangolo PTB:
e' rettangolo (PT e' perpendicolare a TB, dal momento che T e' la proiezione di P su t).
Inoltre essendo t la tangente in B alla semicirconferenza, l'angolo OBT e' retto, quindi l'angolo TBP sara' 90-x (PBO e' il suo complementare e PBO=x).
Pertanto l'angolo TPB sara' 180-90-TBP = x
Del triangolo rettangolo PTB conosciamo dunque gli angoli (in funzione di x) e l'ipotenusa.
Pertanto
e analogamente
Siccome PT e TB sono i cateti del triangolo rettangolo, l'area di TPB sara' il semiprodotto dei cateti, quindi
Vado avanti, ma comincio a postarti questo..
Consideriamo ora il triangolo PLO , rettangolo in LPO (la tangente e' sempre perpendicolare al raggio passante per il punto di tangenza)
Conosciamo il cateto PO (r).
Inoltre sappiamo che, riprendendo in considerazione il triangolo PBO, isoscele con angoli alla base PB=x, che l'angolo POB=180-x-x=180-2x.
Consideriamo le funzioni trigonometriche di 180-2x
sappiamo che
e che
Detto questo, dunque, possiamo ricavarci l'ipotenusa OL (che non ti serve, ma te l'aggiungo per ripasso) e il cateto PL (in verita' da un cateto si puo' ricavare l'altro direttamente, attraverso la tangente dell'angolo opposto o la cotangente dell'angolo compreso..)
Comunque (ricordando che cateto/ipotenusa = coseno angolo compreso)
Da cui, ricordando le formule di duplicazione (
otteniamo
e da qui, il cateto Pl lo ricavi ipotenusa x seno dell'angolo POL (opposto ad esso), con quanto detto sopra
E anche qui ricordando che
E quindi l'Area di POL (semiprodotto dei cateti) sara'
Consideriamo l'angolo PBO quando P coincide con A.
L'angolo sara' zero.
Quindi avremo (facciamo il rapporto delle due superfici trovate)
ovvero
r^2, sin x e cos x si semplificano
dal momento che senx --> 0 e cos x --> 1 avremo che
Spero di non aver fatto errori di conto..
E' lunghino :D
Considera il triangolo PBO.
Questo e' isoscele, dal momento che i lati PO e BO sono i raggi della circonferenza.
Pertanto PO=OB=r.
E dunque, posto l'angolo PBO=x come chiesto dal problema, avremo che BPO=x.
detto questo, tracciamo l'altezza OH del triangolo isoscele, e consideriamo il triangolo rettangolo OHB, di ipotenusa r.
Quindi avremo che
[math] BH=r \cos x [/math]
e pertanto PB (che e' il doppio di BH)
[math] PB=2 r \cos x [/math]
Consideriamo ora il triangolo PTB:
e' rettangolo (PT e' perpendicolare a TB, dal momento che T e' la proiezione di P su t).
Inoltre essendo t la tangente in B alla semicirconferenza, l'angolo OBT e' retto, quindi l'angolo TBP sara' 90-x (PBO e' il suo complementare e PBO=x).
Pertanto l'angolo TPB sara' 180-90-TBP = x
Del triangolo rettangolo PTB conosciamo dunque gli angoli (in funzione di x) e l'ipotenusa.
Pertanto
[math] TB= PB \sin (TPB) = 2r \cos x \sin x [/math]
e analogamente
[math] TP=2 r \cos x \cos x = 2r \cos^2 x [/math]
Siccome PT e TB sono i cateti del triangolo rettangolo, l'area di TPB sara' il semiprodotto dei cateti, quindi
[math] \frac12 2 r \cos^2 x \cdot 2r \cos x \sin x = 2r^2 \sin x \cos^3 x [/math]
Vado avanti, ma comincio a postarti questo..
Consideriamo ora il triangolo PLO , rettangolo in LPO (la tangente e' sempre perpendicolare al raggio passante per il punto di tangenza)
Conosciamo il cateto PO (r).
Inoltre sappiamo che, riprendendo in considerazione il triangolo PBO, isoscele con angoli alla base PB=x, che l'angolo POB=180-x-x=180-2x.
Consideriamo le funzioni trigonometriche di 180-2x
sappiamo che
[math] \sin (180- \alpha)= \sin \alpha [/math]
e che
[math] \cos (180 - \alpha)= - \cos \alpha [/math]
Detto questo, dunque, possiamo ricavarci l'ipotenusa OL (che non ti serve, ma te l'aggiungo per ripasso) e il cateto PL (in verita' da un cateto si puo' ricavare l'altro direttamente, attraverso la tangente dell'angolo opposto o la cotangente dell'angolo compreso..)
Comunque (ricordando che cateto/ipotenusa = coseno angolo compreso)
[math] LO= \frac{PO}{ \cos (180-2x)} [/math]
e quindi per quanto detto sopra[math] LO= \frac{r}{- \cos (2x)} [/math]
Da cui, ricordando le formule di duplicazione (
[math] \cos 2x= \cos^2 x - \sin^2 x [/math]
otteniamo
[math] LO= \frac{r}{ \cos^2 x - \sin^2 x} [/math]
e da qui, il cateto Pl lo ricavi ipotenusa x seno dell'angolo POL (opposto ad esso), con quanto detto sopra
[math] PL= \frac{r}{ \cos^2 x - \sin^2 x} \cdot \sin 2x [/math]
E anche qui ricordando che
[math] \sin 2x= 2 \sin x \cos x [/math]
otterrai[math] PL= \frac{2r \sin x \cos x}{ \cos^2 x - \sin^2 x} [/math]
E quindi l'Area di POL (semiprodotto dei cateti) sara'
[math] \frac12 \frac{2r^2 \sin x \cos x}{ \cos^2 x - \sin^2 x}= \frac{r^2 \sin x \cos x}{ \cos^2 x - \sin^2 x} [/math]
Consideriamo l'angolo PBO quando P coincide con A.
L'angolo sara' zero.
Quindi avremo (facciamo il rapporto delle due superfici trovate)
[math] \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{r^2 \sin x \cos x}{\cos^2 x - \sin^2 x}}{2r^2 \cos^3x \sin x} [/math]
ovvero
[math] \lim_{x \to 0} \frac{r^2 \sin x \cos x}{( \cos^2 x - \sin^2 x)(2r^2 \cos^3x \sin x)} [/math]
r^2, sin x e cos x si semplificano
[math] \lim_{x \to 0} \frac{1}{2( \cos^2 x - \sin^2 x) \cos^2 x} [/math]
dal momento che senx --> 0 e cos x --> 1 avremo che
[math] \lim_{x \to 0} \frac{1}{2(1-0) \cdot 1}= \frac12 [/math]
Spero di non aver fatto errori di conto..
Vedi che la traccia dice che PBA è x e non PBO....
# Stefystef :
Vedi che la traccia dice che PBA è x e non PBO....
Ma dal momento che AOB e' il diametro, l'angolo PBO e l'angolo PBA sono la stessa cosa.
Grazie BIT5...non hai fatto nessun errore di calcolo perchè il risultato è 1/2... Grazie mille!! ;)
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